2021　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　以下の小問にそれぞれ答えなさい．

(1)　$x>0$のとき，不等式$\log (1+x)>x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$が成り立つことを証明しなさい．

【１】　以下の小問にそれぞれ答えなさい．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{13}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\sqrt[3]{{(2x+1)}^5}}}$を求めなさい．

【１】　以下の小問にそれぞれ答えなさい．

(3)　複素数平面上の点$\mathrm{P}(-10-2i)$を点$\mathrm{Q}(5+3i)$を中心に${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転した点を$\mathrm{R}$とする．直線$\mathrm{QR}$と虚軸の交点$\mathrm{S}$を表す複素数を求めなさい．

【２】　$p$を実数の定数とする．$a_1=2\text{，}$$a_2=p$とし，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して

$2a_{n+2}-5a_{n+1}+2a_n=0$

を満たす数列$\{a_n\}$を考える．次の問いに答えなさい．

(1)　$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす定数$\alpha \text{，}$$\beta$の組を$2$組求めなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を$n$と$p$を用いて表しなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$が収束するような$p$の値を求めなさい．

(4)　$p$が(3)で求めた値であるとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めなさい．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AL}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．

(2)　線分$\mathrm{BM}$と線分$\mathrm{CN}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{L}$は一直線上にあることを示しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(4)　$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}=90\mathrm{°}$であり，平面$\mathrm{ABC}$が直線$\mathrm{OP}$に垂直であるとき，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$を求めなさい．

【４】　関数

$f(x)=8{\cos }^{3}x+3\cos 2x+5$$\text{（}-\pi \leqq x\leqq \pi \text{）}$

について次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で調べて，関数$y=f(x)$のグラフの概形を$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲でかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．