2021　横浜市立大　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　$2$つの正の整数$a\text{，}$$b$の最大公約数を$G\text{，}$最小公倍数を$L$とするとき．

$L^2-G^2=72$

が成り立ちます．このような正の整数の組$(a,b)$をすべて求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　$1$から$6$の目が等しい確率で出るサイコロを$3$つ同時に投げるとき，$3$つの出た目の積が$4$の倍数になる確率を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　$n$を自然数，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，$a\ne 0$とするとき，次の記述における$\text{ア}\text{〜}$$\text{ウ}$に適切な数値を入れなさい．

　$n$の関数$a{n}^2+bn+c$が$n=2$で最大値をとるための必要十分条件は，$a<\text{ア}$かつ$\text{イ}\leqq {\displaystyle \frac{b}{a}}\leqq \text{ウ}$です．

【１】　　以下の問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　曲線

$y=x^4-2x^3+x^2-2x+2$

を$C$とし，異なる$2$点で$C$と接する直線を$l$とします．曲線$C$と直線$l$に囲まれる部分の面積を求めなさい．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とします．$1$から$n$の自然数が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードがあります．いま，カードに書かれた数の小さい順に$n$枚のカードが左から右に並んでいます．このとき，以下の「シャッフル」と呼ばれる操作を繰り返すことで，カードを並べかえることを考えます．

●まず，$1$以上$n$未満の自然数$k$を$1$つ選び，左から$k$枚目までのカードのグループと，それ以外のカードのグループに分けます．

●次に，それぞれのグループのカードの順番は変えずに，$2$つのグループのカードを適当に混ぜます．

　たとえば$n=5$のとき，カードが

$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$

と並んでいるとします．いま，$k=2$として，左から$2$枚目までのカード$(1,2)$とそれ以外のカード$(3,4,5)$の$2$つのグループに分けます．次に$2$つのグループのカードを混ぜて

$3\text{，}4\text{，}1\text{，}5\text{，}2$

のように並べかえると，左から$2$枚目までのカード$(1,2)$と，それ以外のカード$(3,4,5)$の順番はそのままなので，これはシャッフルです．シャッフルを行うごとに，選ぶ$k$の値は異なっても構いません．

　以下の各問いに答えなさい．

(1)　$n=5$のとき，$1$度だけシャッフルをすることを考えます．$k$として$2$を選んだ場合，得られるカードの並び方は何通りあるか答えなさい．

(2)　$1$度だけシャッフルをして得られるカードの並び方は$2^n$通り未満であることを証明しなさい．

(3)

${\left({\displaystyle \frac{n}{2}}\right)}^{\frac{n}{2}}<n!$

を証明しなさい．

(4)　$n=130$のとき，$3$回シャッフルを繰り返しただけでは得られないカードの並び方があることを証明しなさい．

【３】　漸化式

$a_{n+1}=3-{\displaystyle \frac{4}{a_n+2}}\text{，}$$a_1=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定まる数列$\{a_n\}$について，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$b_n=1-{\displaystyle \frac{3}{a_n+1}}$を満たす数列$\{b_n\}$は，すべての自然数$n$に対して，${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}$が同じ値になることを証明しなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めなさい．

(3)　集合$A$を$A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_{100}\}\text{，}$$B$を$100$以下の自然数全体の集合とするとき，集合$A\cap B$の要素の数を求めなさい．

【４】　$n$を自然数とするとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$t=\tan x$と置換することで，不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\sin x\cos x}}$を求めなさい．

(2)　関数${\displaystyle \frac{1}{\sin x{\cos }^{n+1}x}}$の導関数を求めなさい．

(3)　部分積分法を用いて

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\sin x{\cos }^{n}x}}$$=-{\displaystyle \frac{1}{(n+1){\cos }^{n+1}x}}+{\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\sin x{\cos }^{n+2}x}}$

が成り立つことを証明しなさい．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\sin x{\cos }^{3}x}}$の値を求めなさい．

【５】　$a$を実数とします．連続型確率変数$X$の取り得る範囲が$0\leqq X\leqq 1$であり，その確率密度関数が

$f(x)=ax(1-x)$

と表されています．以下の各問いに答えなさい．

(1)　$a$の値を求めなさい．

(2)　確率変数$Y=10X-25$を考えます．$Y$の期待値$E(Y)$の値と，分散$V(Y)$の値を求めなさい．

(3)　$Y$と同じ期待値と分散を持つ母集団から大きさ$25$の標本を無作為に抽出し，その標本平均を$\bar{Y}$とします．$\bar{Y}$の平均に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めなさい．ただし，$\bar{Y}$は正規分布に従うとみなし，正規分布表を用いなさい．