2021　三条市立大　前期MathJax

【１】　次の文章を読み，(1)から(3)の問いに答えよ．(1)，(2)については$$にあてはまる適切な数値を解答欄に記入せよ．ただし，$\text{キ}$と$\text{ク}$については正しいものの番号を解答欄に記入せよ．また，(3)の$\text{サ}$については正しい数値の番号を解答欄に記入せよ．

　ある感染症の検査試薬は，$1000$件の検査数に対して，感染しているのに誤って陰性反応を示すことが$20$件，感染していないのに感染していると誤って陽性反応を示すことが$30$件あることがわかっている．これをこの検査試薬の精度として，全体の$1\mathrm{\%}$が感染している集団から無作為に$1$人選んで検査する．この$1$人が実際に感染している事象を$A\text{，}$この$1$人がこの検査試薬で感染していると判定される事象を$B$とする．

(1)　事象$A$の起こる確率は$P(A)={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$であり，事象$A$が起こったときに事象$B$が起こる条件付き確率は$P_A(B)={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．したがって，$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$である．

(2)　感染していると判定されるのは$\text{キ}$と$\text{ク}$の$2$つの場合がある．この$2$つの場合の確率を計算することから，$P(B)={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$を得る．

　$\text{キ}$と$\text{ク}$に当てはまるものを次の$\text{①}\text{〜}$$\text{④}$から選べ．解答の順序は問わない．

$\text{①}$　感染しているのに感染していないと判定される．

$\text{②}$　感染しているときに感染していると判定される．

$\text{③}$　感染していないのに感染していると判定される．

$\text{④}$　感染していないときに感染していないと判定される．

(3)　この検査試薬で感染していると判定されたときに，実際に感染している確率は$\text{サ}$である．$\text{サ}$にあてはまるものを次の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑥}$から選べ．

【２】　次の文章の$$にあてはまる適切な数値を解答欄に記入せよ．

　平面上に三角形$\mathrm{OAB}$がある．この三角形の辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{BM}$と線分$\mathrm{AN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．

　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

これより，

$\mathrm{BP}:\mathrm{PM}=\text{ケ}:\text{コ}$

であるから，三角形$\mathrm{OAB}$と三角形$\mathrm{AMP}$の面積をそれぞれ$S\text{，}$$T$とすると

${\displaystyle \frac{T}{S}}={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$

となる．

【３】　次の文章の$$にあてはまる適切な数値を解答欄に記入せよ．

　$\mathrm{O}$を中心とし半径が$4$の円を$S$とする．三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{\angle BAC}=30\mathrm{°}$であり，$S$に内接している．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$に正弦定理を用いると$\mathrm{BC}=\text{ア}$である．また円周角と中心角の関係から$\mathrm{\angle BOC}=\text{イ}\mathrm{°}$である．

(2)　辺$\mathrm{BC}$を固定して頂点$\mathrm{A}$を$S$上を動かすとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値は$\text{ウ}+\text{エ}\sqrt{\text{オ}}$であり，そのとき${\mathrm{AB}}^2=\text{カ}+\text{キ}\sqrt{\text{ク}}$である．

(3)　辺$\mathrm{BC}$を固定して頂点$\mathrm{A}$を$S$上を動かすとき，$\sin \mathrm{\angle ABC}$の値が最大になるのは$\mathrm{AB}=\text{ケ}\sqrt{\text{コ}}$のときであり，そのとき三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{サ}\sqrt{\text{シ}}$である．

【４】　座標平面上で，点$\mathrm{P}$$(3,1)$を中心とする半径$2$の円を$C$とし，原点$\mathrm{O}$を通る傾き$m$の直線を$l$とする．ただし，$m>0$とする．

　$C$と$l$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をもつとき次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$l$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$と$l$の距離を$m$を用いて表せ．

(3)　$m$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　$\mathrm{AB}=2\sqrt{3}$のとき$m$の値を求めよ．

【５A】　次の問いに答えよ．

　$k$を実数の定数として，

$f(x)={(\log x)}^2-\log x-kx\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{2\log x-1}{x}}$

とおく．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$と$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$の増減を調べて，$y=g(x)$のグラフを描け．必要ならば，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてよい．

(3)　$f(x)$が極大値と極小値を一つずつもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(4)　(3)のとき，$f(x)$が極小値$-1$をもつような$k$の値とそのときの$f(x)$の極大値を求めよ．

【５B】　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=x\sqrt{1-x^2}$がある．

(ⅰ)　$f(x)$の定義域，増減を調べて$y=f(x)$のグラフを描け．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　曲線$y^2=x^2-x^4$により囲まれる部分を$D$とおく．

(ⅰ)　$D$の面積を求めよ．

(ⅱ)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．