2021　公立小松大　前期MathJax

【１】　関数$y=9^{x+1}-3^{x+2}+5$の$-1\leqq x\leqq 2$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　不定方程式

$3x-7y=1$

の整数解のうち，$x$が正で最小となるものを求めよ．

(2)　不定方程式

$3x-7y=11$

の整数解をすべて求めよ．

【３】　$2$つの曲線

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2x-1}}$$(x>{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$$D\text{：}y=a-x^2$

について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)　$2$つの曲線$C$と$D$が共有点$\mathrm{P}$$(\alpha ,\beta )$をもち，点$\mathrm{P}$においてこの$2$曲線の接線が一致するとき，定数$a$の値と点$\mathrm{P}$の座標$(\alpha ,\beta )$を求めよ．また，点$\mathrm{P}$における$2$曲線$C\text{，}$$D$の共通接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)における共通接線と$x$軸の交点の$x$座標を$x_0$とする．$2$曲線$C\text{，}$$D$と直線$x=x_0$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=5a_n-8n+14$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_n+pn+q$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$によって与えられる数列$\{b_n\}$が等比数列となるように，定数$p\text{，}$$q$の値を定めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log \left({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\right)$を求めよ．ただし，必要なら$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n^2}{5^n}}=0$であることを用いてもよい．