2021　福井県立大学　後期MathJax

【１】　初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列$\{a_n\}$が次のような条件を満たすとする．

$0<a_1<a_2\text{，}$$a_1+a_2+a_3=42\text{，}$$a_1{a}_2{a}_3=512$

ただし，$a\text{，}$$r$は実数である．次の問１，問２に答えよ．

問１　初項$a\text{，}$公比$r$を求めよ．

問２　$a_n>{10}^5$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{CA}=2$とし，外心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問１，問２に答えよ．

問１　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　$f(x)=-|x^2-x-6|+x+2$とする．次の問１〜問３に答えよ．

問１　$y=f(x)$のグラフを描け．

問２　$y=f(x)$のグラフと直線$y=-2x-4$で囲まれた図形の面積を求めよ．

問３　直線$y=2ax-b$に関して，コインを$1$枚投げ，表が出れば$a=1\text{，}$裏が出れば$a=-1$とする．次に，サイコロを$1$つころがし，出た目の値$\text{（}1\text{〜}$$6\text{）}$を$b$とする．コインを$1$度投げ，サイコロを$1$度ころがしたときに，$y=f(x)$のグラフと直線$y=2ax-b$が$4$つの異なる共有点を持つ確率を求めよ．

【４】　ある都市では新型ウイルスによる感染症が流行しており，現時点で，すでに人口の$10\mathrm{\%}$がこのウイルスに感染しているという．このウイルスへの感染の有無を調べるのに使われている検査方法は，感染していない人を誤って陽性と判定する確率（偽陽性率）が$5\mathrm{\%}\text{，}$感染している人を誤って陰性と判定する確率（偽陰性率）が$10\mathrm{\%}$となっている．この都市の住民$1$人を取り出し，ウイルスに感染しているかどうか検査を行うとき，次の問１，問２に答えよ．

問１　検査で陽性と判定される確率を求めよ．

問２　検査結果が陰性であった場合に，実際にはこのウイルスに感染している確率を求めよ．