2021　公立諏訪東京理科大学　前期MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2$は，$x=a$で極大になる．点$(a,f(a))$を$\mathrm{P}$とし，$m=f(a)$とおく．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=m$の共有点のうち，$\mathrm{P}$以外の点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{B}$$(b,f(b))$を通り，曲線$y=f(x)$上の別の点で接する接線の方程式を求めなさい．ただし，$0\leqq b<1$とする．

(4)　(3)で求めた接線と直線$y=m$の交点$\mathrm{C}$の座標を求めなさい．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

【２】　$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}\text{，}$$t=\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$とおくとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　${\alpha }^n=1$をみたす最小の自然数$n$を求めなさい．

(2)　$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$を$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$を用いて表しなさい．

(3)　${\alpha }^2+\alpha +1+{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}$を$t$の$2$次多項式で表しなさい．

(4)　$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$の値を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$5$桁の正の整数で，万の位が$7\text{，}$千の位が$4\text{，}$百の位が$5\text{，}$一の位が$1$のとき，$3$の倍数となる整数の個数を求めなさい．

(2)　$5$桁の正の整数で，万の位が$7\text{，}$百の位が$5\text{，}$一の位が$1$のとき，$3$の倍数となる整数の個数を求めなさい．

(3)　$5$桁の正の整数で，万の位が$7\text{，}$百の位が$5\text{，}$一の位が$1$のとき，$11$の倍数となる整数の個数を求めなさい．

(4)　$5$桁の正の整数で，万の位が$7\text{，}$百の位が$5\text{，}$一の位が$1$のとき，$3$の倍数であるが$11$の倍数でない整数の個数を求めなさい．