2021　公立諏訪東京理科大学　中期MathJax

【１】　$f(x)=x^4-2x^3+x^2$とするとき，座標平面上の曲線$y=f(x)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$$(\alpha ,f(\alpha ))$における接線$l_{\alpha }$の方程式を求めなさい．

(2)　$l_{\alpha }$のうち，原点を通り，傾きが$0$でないものの方程式を求めなさい．

(3)　$l_{\alpha }$と$y$軸との交点の$y$座標の最大値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　箱の中に$4$個の白玉と$1$個の赤玉が入っている．この箱の中から，無作為に$1$個ずつ玉を取り出すことを繰り返す．このとき，$3$個目に赤玉を取り出す確率を求めなさい．ただし，取り出した玉は箱に戻さないものとする．

(2)　箱の中に$5$個の白玉と$5$個の赤玉が入っている．この箱の中から，同時に$3$個の玉を取り出す．取り出された$3$個の玉の色の組み合わせの中で，最もその確率が高くなる組み合わせをすべて求めなさい．

(3)　箱の中に$5$個の白玉と$5$個の赤玉が入っている．この箱の中から，同時に$k$$\text{（}5\leqq k\leqq 10\text{）}$個の玉を取り出すとき，白玉が$n$個，赤玉が$4$個である確率を$p_k$とする．このとき，$p_k={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる$k$の値を求めなさい．

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(\sin \theta ,\cos \theta )$$(0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$をとり，以下の条件をみたす$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を考える．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1$

$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵OCD}$の面積を$S_2$とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めなさい．

(2)　$S_2={\displaystyle \frac{1}{4}}{S}_1$が成り立つときの$\theta$の値を求めなさい．

(3)　$S=2S_1+2S_2$を最小にする$\theta$の値と，そのときの$S$の値を求めなさい．

【４】　$f(x)=e^{-x}\sin x$として，曲線$K\text{：}y=f(x)$と$x$軸の$x\geqq 0$の部分との共有点の$x$座標を小さい方から順に$p_0\text{，}$$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$p_n\text{，}\cdots$とおき，曲線$K$と$x$軸の$p_{n-1}\leqq x\leqq p_n$の部分で囲まれる図形の面積を$S_n$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$p_n$を求めなさい．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で関数$f(x)$の極値と曲線$K$の変曲点を求めなさい．

(3)　$S_1$を求めなさい．

(4)　$S_n$を$S_1$を用いて表しなさい．

(5)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めなさい．