2021　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，出た目を表す数を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a+b+c$が$9$の倍数になる確率を求めよ．

(2)　$(a-b)(b-c)(c-d)=0$となる確率を求めよ．

(3)　$|(10a+b)-(10c+d)|\leqq 1$となる確率を求めよ．

【２】　$x\geqq 0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　不等式$x-{\displaystyle \frac{1}{3!}}{x}^3\leqq \sin x$を証明せよ．

(2)　不等式$\sin x\leqq x-{\displaystyle \frac{1}{3!}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{5!}}{x}^5$を証明せよ．

(3)　(1)，(2)の不等式が成り立つことを用いて，$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x-x}{x^3}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$を証明せよ．

【３】　自然数$n$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{n}x\mathit{dx}$

とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$I_1\text{，}$$I_2$をそれぞれ求めよ．

(2)　$n\geqq 3$に対して，

$I_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{I}_{n-2}$

が成り立つことを示せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}{(1-t^2)}^n\mathit{dt}<{\displaystyle \frac{2}{5}}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

【４】　複素数平面上の点$z$$(z\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}})$に対し，$\omega ={\displaystyle \frac{z+1}{2z+1}}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$z=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{i}{2}}$のとき，${\omega }^{10}$を求めよ．

(2)　点$z$が原点を中心に半径$1$の円周上にあるとき，$\omega$は中心$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$半径${\displaystyle \frac{1}{3}}$の円周上にあることを示せ．

(3)　点$z$が点$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を中心に半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円周上を動くとき，$z-\omega$は実数となることを示せ．