2021　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$が${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{n}{n+2}}$を満たすとき，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．ただし，$a_1=2$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$y=2x^3-4x^2+2x$のグラフをかけ．

【２】　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$3$以上の自然数$n$に対し，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2n+1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2n-1\text{，}$$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=2n$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$は鋭角三角形になることを示せ．

(2)　点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$としたとき，$t$を$n$で表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が整数となるような自然数$n$で最小のものを求めよ．

【３】　連立不等式

$y\geqq -5x+5\text{，}$$y\geqq {\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$y\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+4\text{，}$$0\leqq x\leqq 4$

の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}$$(x,y)$がこの領域$D$内を動くとき，$2x+5y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号が付いた同じ形のカードが$2$枚ずつ，全部で$2n$枚のカードが箱に入っている．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が以下の手順に従ってこの箱からカードを取り出すゲームを行う．ただし，$\mathrm{A}$を最初のプレイヤーとする．

箱のカードがなくなればゲームを終了する．また，取り上げたカードの枚数が多い方を勝者とし，同数なら引き分けとする．次の問いに答えよ．

(1)　$n=2$のとき，$\mathrm{B}$が勝つ確率$P(2)$を求めよ．

(2)　$n=3$のとき，$\mathrm{B}$が勝つ確率$P(3)$を求めよ．

(3)　$n=4$のとき，$\mathrm{B}$が勝つ確率$P(4)\text{，}$引き分ける確率$Q(4)$を求めよ．

【１】　$\log x\text{，}$$\log y$が自然対数のとき，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$|\log x|+|\log y|=1$の表す図形をかけ．

(2)　不等式$|\log x|+|\log y|\leqq 1$の表す領域の面積を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$が${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{n}{n+2}}$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{a_n}{a_1}}$を求めよ．

(2)　$a_1=2$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{a}_k$を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$が${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}={\displaystyle \frac{n}{n+2}}$を満たすとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．ただし，$a_1=2$とする．