2021　名古屋市立大　中期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を以下のように定める．

$a_1=p$

$b_n=q{a}_n+p$

$a_{n+1}=r{b}_n+p$

ただし，$p\text{．}$$q\text{，}$$r$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_3\text{．}$$b_3$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(2)　$a_n\text{．}$$b_n$を$n\text{，}$$p\text{．}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$が収束するとき，以下の$3$つの条件式を同時に満たす$s$を求めよ．対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

${\displaystyle \frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$

$q=e^{-s\log 2}$

$r=e^{-2s\log 2}$

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,c)$がある．ただし，$a>1\text{，}$$b>1\text{．}$$c>1$とする．$\mathrm{\angle BAC}=\theta$とし，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし，垂線と平面の交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{OH}$の長さが$1$のとき，${\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}=1$が成り立つことを示せ．

(3)　(2)の条件のもとで$a=2$としたとき，$S$を最小にする$b\text{．}$$c$の値を求めよ．また，そのときの$S$の値を求めよ．

(編注）2017年熊本大学前期理,医(放射線技術科,検査技術科学専攻),工,薬学部【１】を改変して活用

【３】　$2$以上の自然数$k$に対して，関数$f_k(x)$を

$f_k(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^k}}$$\text{（}x>0\text{）}$

と定める．対数は自然対数である．$xy$平面上において，曲線$y=f_k(x)$に原点$\mathrm{O}$から引いた接線を$l_k$とし，接点の$x$座標を$p_k$とする．また，$f_k(x)$は$x=q_k$で最大値をとるものとする．さらに，$2$以上の自然数$k$に対して，関数$g_k(x)$を

$g_k(x)={(k-1)}^2{\displaystyle {\int }_a^x}{f}_k(t)\mathit{dt}$$\text{（}x>0\text{）}$

と定める．ただし，$a=e^{\frac{1}{1-k}}$で，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき$\log x<x$であることを示し，これを用いて$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_k(x)$を求めよ．

(2)　$f_k(x)$の増減と$y=f_k(x)$のグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(3)　$p_k$を$k$を用いて表せ．また，接線$l_k$の方程式を求めよ．

(4)　$x$の関数$g_k(x)$を$k$を用いて表せ．また，$g_{k+1}(q_k)=g_{k+2}(p_k)$であることを示せ．