2021 名古屋市立大 中期薬学部MathJax

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2021 名古屋市立大 中期

薬学部

易□ 並□ 難□

【1】 数列 {a n} {bn } を以下のように定める.

a1=p

bn=q an+p

an+1 =rbn+ p

ただし, p q r は正の実数とする.次の問いに答えよ.

(1)  a3 b3 p q r を用いて表せ.

(2)  an bn n p q r を用いて表せ.

(3)  limn an limn bn p q r を用いて表せ.

(4)  limn an limn bn が収束するとき,以下の 3 つの条件式を同時に満たす s を求めよ.対数は自然対数であり, e は自然対数の底である.

limn bn limn an =65

q=e-slog 2

r=e-2 slog 2

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易□ 並□ 難□

【2】  O を原点とする座標空間内に 3 A (a,0, 0) B (0,b, 0) C (0,0, c) がある.ただし, a>1 b>1 c>1 とする. ∠BAC=θ とし, ▵ABC の面積を S とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  cosθ sinθ a b c を用いて表せ.

(2) 原点 O から平面 ABC に垂線を下ろし,垂線と平面の交点を H とする.線分 OH の長さが 1 のとき, 1a2 +1 b2+ 1c2 =1 が成り立つことを示せ.

(3) (2)の条件のもとで a=2 としたとき, S を最小にする b c の値を求めよ.また,そのときの S の値を求めよ.

(編注)2017年熊本大学前期理,医(放射線技術科,検査技術科学専攻),工,薬学部【1】を改変して活用

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易□ 並□ 難□

【3】  2 以上の自然数 k に対して,関数 fk (x )

fk( x)= logxxk x> 0

と定める.対数は自然対数である. xy 平面上において,曲線 y=f k(x ) に原点 O から引いた接線を lk とし,接点の x 座標を pk とする.また, fk( x) x=q k で最大値をとるものとする.さらに, 2 以上の自然数 k に対して,関数 gk (x )

gk( x)=( k-1)2 ax fk( t)dt x> 0

と定める.ただし, a=e11 -k で, e は自然対数の底である.次の問いに答えよ.

(1)  x>0 のとき logx <x であることを示し,これを用いて limx fk (x ) を求めよ.

(2)  fk( x) の増減と y=fk (x ) のグラフの凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.

(3)  pk k を用いて表せ.また,接線 lk の方程式を求めよ.

(4)  x の関数 gk (x ) k を用いて表せ.また, gk+1 (qk )=gk+ 2( pk) であることを示せ.

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