2021　滋賀県立大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2$とする．$\mathrm{▵OAB}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{OI}$と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，それぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,c)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．四面体$\mathrm{OABC}$は$\mathrm{OA}+\mathrm{OB}+\mathrm{OC}=9\text{，}$${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2=66$を満たすとする．

(1)　$b+c$および$bc$を，それぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$が存在するための$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$a$を用いて表せ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$の最大値とそのときの$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

【３】　初項が$1\text{，}$公差が$2$の等差数列$\{a_n\}$を考える．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項$\text{（}n\geqq 2\text{）}$において，異なる$2$項の積の和$T_n$を求めよ．例えば，$T_2=a_1{a}_2=3\text{，}$$T_3=a_1{a}_2+a_1{a}_3+a_2{a}_3=23$である．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項$\text{（}n\geqq 3\text{）}$において，次の$2$つの条件

・相異なっている．

・互いに隣り合っていない．

を満たす$2$項の積の和$U_n$を求めよ．例えば，$U_3=a_1{a}_3=5\text{，}$$U_4=a_1{a}_3+a_1{a}_4+a_2{a}_4=33$である．

【４】　関数$f(x)=\{{(\log x)}^2-3\}$$\text{（}x>0\text{）}$を考える．ただし，$\log$は自然対数である．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$(1,-3)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値とそのときの$x$の値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べて，変曲点を求めよ．

(3)　定積分$I={\displaystyle {\int }_1^e}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【５】　$a\text{，}$$b$を実数とする．曲線$C\text{：}y=x^3-ax$および直線$l\text{：}y=bx$を考える．

(1)　$a=1\text{，}$$b=2$のとき，$C$と$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(2)　$a=5$のとき，原点において，$C$の接線と$l$が直交するような$b$の値を求めよ．

(3)　$C$と$l$が$3$個の共有点を持つ場合を考える．

(ア)　$a+b$の値の範囲を求めよ．

(イ)　$2$個の共有点において，$C$の接線と$l$が直交するときの$a$の値の範囲を求めよ．