2021　滋賀県立大学　後期MathJax

【１】　$k>0$とする．$xy$平面において，次の連立不等式の表す領域の面積を$S$とする．

$0\leqq x\leqq 8\text{，}$$0\leqq y\leqq 4\text{，}$${\displaystyle \frac{k}{2}}x\leqq y\leqq kx$

(1)　$k=1$のとき，$S$の値を求めよ．

(2)　$k={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$S$の値を求めよ．

(3)　$S$を$k$を用いて表せ．

(4)　$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$および辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{D}$について，次の条件(ⅰ)から(ⅳ)を考える．ただし，$\mathrm{\angle BAD}=\theta \text{，}$$\mathrm{BD}=x$とする．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABD}$の外接円の半径は$1$である．

(ⅱ)　$\mathrm{AB}:\mathrm{BD}=2:1$

(ⅲ)　$\mathrm{\angle BAD}=\mathrm{\angle DAC}$

(ⅳ)　$\mathrm{AC}=2$

(1)　条件(ⅰ)が成り立つとき，$\sin \theta$と$\cos 2\theta$をそれぞれ$x$を用いて表せ．

(2)　条件(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)がすべて成り立つとき，線分$\mathrm{DC}$の長さを求めよ．また，そのときの$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　条件(ⅰ)から(ⅳ)がすべて成り立つとき，$x$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=(x-p){(x-q)}^2$を考える．ただし，$p<q$とする．

(1)　$f(x)$の極値と，そのときの$x$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　$p\text{，}$$q$を素数とする．(1)で求めた$x$の値がすべて素数となる組$(p,q)$のうち，$2p+q$が最小になるものはただ$1$組であることを示せ．また，そのときの$(p,q)$を求めよ．

(3)　$(p,q)$が(2)で求めた組のとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　$a>0$とする．関数$f(\theta )={\displaystyle \frac{a+\cos \theta }{\sin \theta }}$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$を考える．

(1)　導関数$f^{\prime }(\theta )$を求めよ．

(2)　$f(\theta )$が極小値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．また，そのときの極小値を$a$を用いて表せ．

(3)　$a=1$とする．定積分$I={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{2}{3}\pi }}f(\theta )\mathit{d\theta }$を求めよ．

【５】　$xy$平面において，不等式$y<0$が表す領域に点$\mathrm{P}$があるとする．曲線$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$に$\mathrm{P}$から引いた接線は$2$本ある．このときの接点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\mathrm{R}$の$x$座標より小さいとする．

(1)　$\mathrm{P}$$(0,-1)$のとき，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle QPR}=\theta$とする．

(ア)　$\mathrm{P}$が直線$y=-1$上を動くとき，$\theta$が一定であることを示せ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

(イ)　$\mathrm{P}$が直線$y=-3$上を動くとき，$\theta$の最小値を求めよ．