2021　京都府立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$31$が素数であることを，背理法を用いて証明せよ．$3\text{，}$$5\text{，}$$7$が素数であることは用いてよい．

(2)　${}_{31}C_r$$\text{（}r=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$30\text{）}$を$31$で割った余りは$0$であることを，背理法を用いて証明せよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して$n^{31}-n$を$31$で割った余りは$0$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{a_n^2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$n$が$2$以上の自然数のとき，${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}<\log n$が成り立つことを示せ．

(2)　$n$が$2$以上の自然数のとき，${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}<1$が成り立つことを示せ．

(3)　$n$が$2$以上の自然数のとき，$a_n^3>3n$が成り立つことを示せ．

(4)　$a_{243}$の値の整数部分が$9$であることを示せ．

【３】　$s>0\text{，}$$t>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$4$点$\mathrm{A}$$(\sqrt{3},0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,\sqrt{3},0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(s,t,2)$がある．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$\mathrm{P}$から$\alpha$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．$\mathrm{H}$の$x$座標，$y$座標，$z$座標がすべて正または$0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{H}$の座標を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PH}}\right|$の最大値を求めよ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PH}}\right|$が最大値をとるときの，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積を求めよ．

【４】　$p>0\text{，}$$q$を実数とする．$xy$平面上に点$\mathrm{P}$$(p,q)$および曲線$C\text{：}y=x^3-12x+1$がある．以下の問いに答えよ．

(1)　$t$を実数とする．$C$上の点$(t,t^3-12t+1)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$C$に$\mathrm{P}$から引いた$3$本の接線が相異なるとき，$q$が満たすべき条件を$p$を用いてすべて表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が$C$上にあり，$\mathrm{P}$を通る$C$の接線と$C$との接点を点$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の$x$座標が負のとき，$C$と$C$の接線で囲まれた部分の面積を$p$を用いて表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面において，不等式$|3x-y|+|3x+2y|\leqq 3$の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$が$D$を動くとき，$11x+2y$の最小値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$x\text{，}$$y$を整数とする．$x^2-4xy+7y^2+y-14=0$を満たす$x$と$y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$が$a_1=6\text{，}$$a_{n+1}=3a_n+3^{n+2}$のとき，一般項$a_n$と${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$の和を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BO}$の上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$があり，$\mathrm{▵OAB}$の重心と$\mathrm{▵PQR}$の重心が一致する．辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BO}$を$3:1$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1$とし，辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1$を$3:1$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}$$\text{（}0\leqq s\leqq 1\text{）}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$および$s$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$が平行であるとき$s$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵OAB}$と$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$の面積比を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$p$を実数とする．$xy$平面上に，曲線$C_1\text{：}y=-2x^2\text{，}$曲線$C_2\text{：}y=-{(x-a)}^2$がある．$C_1$を$x$軸方向に$2\text{，}$$y$軸方向に$-4$平行移動した曲線を$C_3$とする．$C_1$と$C_3$の両方に接する直線を$l$とする．$C_1$と$C_3$の交点の$x$座標を$p$とする．$C_1\text{，}$$C_3$および$l$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．$C_2\text{，}$直線$x=p$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$S_1$の値を求めよ．

(3)　$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．