2021 京都府立医科大学 前期

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2021 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f(x )=x |x2- 1| を考える. r は正の実数であるとして,関数 g (x)

g(x )= xrx+r f(t )dt

と定める.

(1)  y=f( x) のグラフの概形をかけ.

(2)  r1 のとき, g(x ) は単調に増加する関数であることを証明せよ.

(3)  g(x ) が単調に増加する関数であるような r の範囲を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 自然数 m に対し, m 6 で割った余りを r( m) と表す. k l は自然数とし, xy 平面上の点

(r( k),r (l) ) (r( 2k),r (2l )) (r( 6k),r (6l ))

を要素とする集合を A( k,l) とする. A(k, l) の要素の個数を n( A(k,l )) と表す.例えば, k=6 l=6 の場合, (r( 6m), r(6 m))= (0,0 ) 1 m6 なので, n(A (6,6) )=1 である.

(1) 大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ,大のさいころの出た目を k 1 k6 ), 小のさいころの出た目を l 1 l6 とするとき, n(A (k,l) )3 となる確率を求めよ.

(2) 大小 2 つのさいころを投げて,大のさいころの出た目を k1 小のさいころの出た目を l1 とする.

 さらにもう一度大小 2 つのさいころを投げて,大のさいころの出た目を k2 小のさいころの出た目を l2 とする. B=A( k1,l1 )A (k2, l2) とするとき, B の要素の個数が 7 になる確率を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  a a>1 を満たす実数とする. 1 辺の長さ a の正方形である面を 1 つ, 3 辺の長さが a 1 1 の二等辺三角形である面を 2 つ, 4 辺の長さが a 1 1 1 の台形である面を 2 つ用意し,これらを組み合わせて 5 つの面で囲まれた立体 F ができたとする.

(1) 立体 F において,正方形の面に平行な長さ 1 の辺がある.その辺上の点から正方形の面に引いた垂線の長さ h a を用いて表せ.

(2) 立体 F において,正方形の面と台形の面のなす角を θ1 とし,正方形の面と二等辺三角形の面のなす角を θ2 とするとき

θ1+θ 2=π 2

となる a の値を求めよ.

(3) (2)で求めた a の場合を考える. 1 辺の長さが a の立方体にいくつかの F を正方形の面でうまくはり合わせると正十二面体ができる.この事実を利用して 1 辺の長さが 1 の正十二面体の体積を求めよ.

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【4A】,【4B】から1題選択

易□ 並□ 難□

【4A】 複素数 z に関する以下の条件(C),(D)を考える.

条件(C)  z2+m z+n=0 を満たす整数 m n が存在する.

条件(D)  z3+p z+q=0 を満たす整数 p q が存在する.

(1) 複素数 z が条件(C)を満たすならば,条件(D)も満たすことを証明せよ.

(2)  23 は条件(D)は満たすが,条件(C)は満たさないことを証明せよ.ただし, 23 が無理数であることは用いてよい.

(3)  |z|= 1 である複素数 z で条件(D)を満たすものをすべて求めよ.

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【4A】,【4B】から1題選択

易□ 並□ 難□

【4B】 平面上で 1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC の頂点 A B C を中心とする半径 1 の円で囲まれた部分をそれぞれ D1 D2 D3 とする. D1 D2 D3 の共通部分を K とする.すなわち K は,共通部分に含まれる弧 AB BC CA で囲まれた図形である.

  xy 平面上に K を考え,点 A は原点に,点 C y 軸上に,点 B は第 1 象限に属するように K をおく.この K x 軸の上で正の方向にすべることなく転がり, 1 回転するときにできる点 A の描く曲線を L とする.

(1)  K の弧 AB x 軸が共有点をもつとき,その共有点を P とし, ∠ACP=θ とおく.ただし 0<θ <π3 とする.このとき点 A の座標を θ を用いて表せ.

(2)  K 1 回転したあとの点 A の座標を求めよ.

(3) 曲線 L x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

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