2021　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x|x^2-1|$を考える．$r$は正の実数であるとして，関数$g(x)$を

$g(x)={\displaystyle {\int }_{x-r}^{x+r}}f(t)\mathit{dt}$

と定める．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$r\geqq 1$のとき，$g(x)$は単調に増加する関数であることを証明せよ．

(3)　$g(x)$が単調に増加する関数であるような$r$の範囲を求めよ．

【２】　自然数$m$に対し，$m$を$6$で割った余りを$r(m)$と表す．$k\text{，}$$l$は自然数とし，$xy$平面上の点

$(r(k),r(l))\text{，}$$(r(2k),r(2l))\text{，}$$\cdots \text{，}$$(r(6k),r(6l))$

を要素とする集合を$A(k,l)$とする．$A(k,l)$の要素の個数を$n(A(k,l))$と表す．例えば，$k=6\text{，}$$l=6$の場合，$(r(6m),r(6m))=(0,0)$$\text{（}1\leqq m\leqq 6\text{）}$なので，$n(A(6,6))=1$である．

(1)　大小$2$つのさいころを同時に$1$回投げ，大のさいころの出た目を$k$$\text{（}1\leqq k\leqq 6\text{），}$小のさいころの出た目を$l$$\text{（}1\leqq l\leqq 6\text{）}$とするとき，$n(A(k,l))\leqq 3$となる確率を求めよ．

(2)　大小$2$つのさいころを投げて，大のさいころの出た目を$k_1\text{，}$小のさいころの出た目を$l_1$とする．

　さらにもう一度大小$2$つのさいころを投げて，大のさいころの出た目を$k_2\text{，}$小のさいころの出た目を$l_2$とする．$B=A(k_1,l_1)\cup A(k_2,l_2)$とするとき，$B$の要素の個数が$7$になる確率を求めよ．

【３】　$a$は$a>1$を満たす実数とする．$1$辺の長さ$a$の正方形である面を$1$つ，$3$辺の長さが$a\text{，}$$1\text{，}$$1$の二等辺三角形である面を$2$つ，$4$辺の長さが$a\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1$の台形である面を$2$つ用意し，これらを組み合わせて$5$つの面で囲まれた立体$F$ができたとする．

(1)　立体$F$において，正方形の面に平行な長さ$1$の辺がある．その辺上の点から正方形の面に引いた垂線の長さ$h$を$a$を用いて表せ．

(2)　立体$F$において，正方形の面と台形の面のなす角を${\theta }_1$とし，正方形の面と二等辺三角形の面のなす角を${\theta }_2$とするとき

${\theta }_1+{\theta }_2={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

となる$a$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$の場合を考える．$1$辺の長さが$a$の立方体にいくつかの$F$を正方形の面でうまくはり合わせると正十二面体ができる．この事実を利用して$1$辺の長さが$1$の正十二面体の体積を求めよ．

【４A】　複素数$z$に関する以下の条件(C)，(D)を考える．

条件(C)　$z^2+mz+n=0$を満たす整数$m\text{，}$$n$が存在する．

条件(D)　$z^3+pz+q=0$を満たす整数$p\text{，}$$q$が存在する．

(1)　複素数$z$が条件(C)を満たすならば，条件(D)も満たすことを証明せよ．

(2)　$\sqrt[3]{2}$は条件(D)は満たすが，条件(C)は満たさないことを証明せよ．ただし，$\sqrt[3]{2}$が無理数であることは用いてよい．

(3)　$\left|z\right|=1$である複素数$z$で条件(D)を満たすものをすべて求めよ．

【４B】　平面上で$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を中心とする半径$1$の円で囲まれた部分をそれぞれ$D_1\text{，}$$D_2\text{，}$$D_3$とする．$D_1\text{，}$$D_2\text{，}$$D_3$の共通部分を$K$とする．すなわち$K$は，共通部分に含まれる弧$\mathrm{AB}\text{，}$弧$\mathrm{BC}\text{，}$弧$\mathrm{CA}$で囲まれた図形である．

　$xy$平面上に$K$を考え，点$\mathrm{A}$は原点に，点$\mathrm{C}$は$y$軸上に，点$\mathrm{B}$は第$1$象限に属するように$K$をおく．この$K$が$x$軸の上で正の方向にすべることなく転がり，$1$回転するときにできる点$\mathrm{A}$の描く曲線を$L$とする．

(1)　$K$の弧$\mathrm{AB}$と$x$軸が共有点をもつとき，その共有点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{\angle ACP}=\theta$とおく．ただし$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．このとき点$\mathrm{A}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$K$が$1$回転したあとの点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(3)　曲線$L$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．