2021　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　$n$を正の奇数とする．$1$から$n$までの奇数の和を$S_n\text{，}$$1$から$n$までの奇数の$2$乗の和を$T_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

問１　$S_n\text{，}$$T_n$を$n$を用いて表せ．

問２　${(n+1)}^2$と$n$は互いに素であることを示せ．

問３　$3$以上の奇数$n$に対して$S_n$は$n$で割り切れないことを示せ．

問４　$T_n$が$n$で割り切れるための$n$の条件を求めよ．

【２】　$k$を自然数，$0<\alpha <1$とする．表の出る確率が$\alpha \text{，}$裏の出る確率が$1-\alpha$のコインを投げて，最初，数直線の原点にあった点$\mathrm{P}$の位置を，表が出たら$k$だけ，裏が出たら$1$だけ右に進める．以降，移動した位置でコインを投げてこの操作を繰り返す．例えば，コインが「表，表，裏」と出た場合，点$\mathrm{P}$の位置を表す座標は，最初の座標$0$から$k\text{，}$$2k\text{，}$$2k+1$と変化する．$n$を自然数として，コインを$n$回投げるとき，$1$回目から$n$回目までのどこかで点$\mathrm{P}$の座標が$n$となる確率を$p_n$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$k=2$とする．このとき，$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$p_3$を$\alpha$を用いて表せ．

問２　$k=2$のとき，$n\geqq 1$に対して$p_n$を$n$と$\alpha$を用いて表せ．

問３　$k=3$とする．$n\geqq 3$のとき

$p_n-{(1-\alpha )}^n$

は$\alpha$の多項式として表される．その多項式の最も次数の高い項の係数を$n$を用いて表せ．

【３】　実数$t$に対して，$xy$平面上の曲線

$C_t\text{：}y=3t{x}^2-t^3$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$t$が実数全体を動くとき，曲線$C_t$がちょうど$3$回通過する$xy$平面上の点全体からなる領域を図示せよ．

問２　$t$が実数全体を動くとき，曲線$C_t$がちょうど$1$回通過する$xy$平面上の点全体からなる領域を図示せよ．

　領域を図示する際は，その境界線や境界点が含まれるか否かがはっきりとわかるように図示せよ．

【４】　座標空間の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面上に点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，関係式

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

問２　$\mathrm{▵OAB}$を含む平面に点$\mathrm{C}$から垂線$\mathrm{CP}$を下ろす．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

をみたす実数$a\text{，}$$b$を求めよ．

問３　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【１】　区間$0\leqq x\leqq 1$上の連続関数$f(x)$と自然数$n$に対し

$I_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n}}f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)$

とおく．また

$D=\underset{n\to \infty }{\lim }n(I_n-{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx})$

とおく．次の問いに答えよ．

問１　$f(x)=x^2$のとき$D$の値を求めよ．

問２　$f(x)=x^3$のとき$D$の値を求めよ．

問３　$f(x)=e^x$のとき$D$の値を求めよ．

　ただし，$e^{\frac{1}{n}}=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}+a_n$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{a}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}$となることを用いてよい．

【２】　$n$を$3$以上の自然数とする．単位円に内接する正$n$角形の面積を$A_n\text{，}$この正$n$角形の各辺の中点を順に結んでできる正$n$角形の面積を$B_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

問１　$A_n$を$n$を用いて表せ．

問２　$B_n$を$n$を用いて表せ．

問３　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{B}_n$を求めよ．

問４　$n\geqq 32$のとき，不等式${\displaystyle \frac{B_n}{A_n}}>{\displaystyle \frac{99}{100}}$が成り立つことを示せ．

【３】　$xyz$空間の中で，方程式$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+z^2)$で表される図形は，放物線を$y$軸のまわりに回転して得られる曲面である．これを$S$とする．また，方程式$y=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$で表される図形は，$xz$平面と$45$度の角度で交わる平面である．これを$H$とする．さらに，$S$と$H$が囲む部分を$K$とおくと，$K$は不等式

${\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+z^2)\leqq y\leqq x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

をみたす点$(x,y,z)$の全体となる．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$K$を平面$z=t$で切ったときの切り口が空集合ではないような実数$t$の範囲を求めよ．

問２　問１の切り口の面積$S(t)$を$t$を用いて表せ．

問３　$K$の体積を求めよ．

【４】　$n$個の球の入った箱から球を一つずつ取り出して元に戻す操作を$k$回繰り返す．ただし$k\leqq n$とする．各回について，どの球が取り出されるかは同様に確からしいとする．取り出した$k$個の球がすべて相異なる確率を$P(n,k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　$P(n,k)$を$n$と$k$を用いて表せ．

問２　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{(P(n,k))}^n$を$Q(k)$とおくとき，$Q(k)$を$k$を用いて表せ．ただし公式$\underset{x+0}{\lim }{(1-x)}^{\frac{1}{x}}=e^{-1}$を用いてもよい．

問３　無限級数

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\log Q(k)}}$

の値を求めよ．ただし$\log$は自然対数を表す．