2021　兵庫県立大学　前期MathJax

(1)　点$\mathrm{C}$を通る直線と曲線$F$とが点$\mathrm{C}$以外に共有点$\mathrm{P}$$(p,f(p))\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,f(q))$をもつとき（$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が一致する場合も含む），$p+q$を求めなさい．

(2)　面積$S$を$a\text{，}$$b$の式として表しなさい．

(3)　$a+b=6$のとき，$S$の最大値を求めなさい．

(1)　$p=0$の場合，すなわち，$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$に一致しているとき，線分$\mathrm{P}{\mathrm{H}}_0$の長さ$l_0$を求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{P}{\mathrm{H}}_p$の長さ$l_p$を$p$の式で表しなさい．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一平面上にあるための必要十分条件を$p$と$q$の式で表しなさい．

(4)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一平面上にあるとき，四角形$\mathrm{OPCQ}$の面積の最大値$M$と最小値$m$を求めなさい．

　まず，どちらかの子供が箱を振り，

場合１　出てきた硬貨が赤い硬貨であれば，箱を振った子供を勝者とし，ゲームは終了する．

場合２　出てきた硬貨が白い硬貨でかつ表のとき，箱を振った子供が続けてもう一度箱を振る．

場合３　出てきた硬貨が白い硬貨でかつ裏のとき，交代してもう一人の子供が箱を振る．

硬貨の出方に従って，場合１〜場合３をどちらかの子供が赤の硬貨を出すまで繰り返し，勝者を決める．白い硬貨が$n$枚のとき，最初に箱を振った子供が勝つ確率を$P_n\text{，}$もう一人の子供が勝つ確率を$Q_n$として，以下の問いに答えなさい．

(1)　$P_1$と$Q_1$をそれぞれ求めなさい．

(2)　$P_3$と$Q_3$をそれぞれ求めなさい．

(3)　$P_n$と$Q_n$をそれぞれ$n$の式で表しなさい．

${\mathrm{A}}_k({\displaystyle \frac{k}{n}}\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}},{\displaystyle \frac{k}{n}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}})$$\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$

および$x$軸上の点$\mathrm{E}$$(1,0)$を考える．また曲線$C$と$x$軸$\text{（}x<0\text{）}$との交点を$\mathrm{F}$として，以下の問に答えなさい．

(1)　$1\leqq k\leqq n$のとき，${\mathrm{A}}_k$を極座標$(r,\theta )$で表しなさい．また$n=4$のとき，${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4$を図示しなさい．

(2)　$1\leqq k\leqq n-1$のとき，$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}$の面積$s(k,n)$を$n$と$k$を用いて表しなさい．

(3)　(2)で求めた$s(k,n)$に対し，$S(n)$を$S(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}s(k,n)$と定める．ただし，$n\geqq 3$である．このとき，$S(n)$を$n$を用いて表しなさい．また$S=\underset{n\to \infty }{\lim }S(n)$とすると，$S$は曲線$C$と線分$\mathrm{OE}$で囲まれる図形の面積と一致する．$S$の値を求めなさい．

(4)　曲線$C$と線分$\mathrm{OF}$で囲まれる図形の面積$T$を求めなさい．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }(x^2+2)\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　正の整数$n$に対して，定積分

${\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}|(x^2+2)\sin x|\mathit{dx}$

を求めよ．

(1)　$g(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$の最大値と，その最大値を与える$x$の値を求めよ．

(1)　$\mathrm{A}{\mathrm{D}}^{\prime }$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$\mathrm{D}={\mathrm{D}}^{\prime }$となるとき，$\mathrm{AD}$の値を求めよ．

(1)　正の実数$s\text{，}$$t$に対し$x=s+t\text{，}$$y=st$とする．このとき，点$(x,y)$の動く範囲を求め，$xy$平面上に図示せよ．

(2)　正の実数$s\text{，}$$t\text{，}$$u$が$2$つの等式$s+t+u=7\text{，}$$stu=9$をみたしながら動くとき，$u$のとりうる値の範囲を求めよ．また$u$が最大値をとるときの$s\text{，}$$t$の値を求めよ．