2021　兵庫県立大学　中期MathJax

2021-11613-0301

2021　兵庫県立大学　中期

社会情報学部

(1)，(2)で配点率25％

易□　並□　難□

【１】　以下のⅠ，Ⅱに答えなさい．

Ⅰ　 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 | x - 1 |$ と $y = \frac{1}{2} x - \frac{17}{4}$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めなさい．

2021-11613-0302

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2021　兵庫県立大学　中期

社会情報学部

(1)，(2)で配点率25％

易□　並□　難□

【１】　以下のⅠ，Ⅱに答えなさい．

Ⅱ　整式 $P (x)$ を ${(x - 1)}^{2}$ で割ると $1$ 余り， $x - 2$ で割ると $2$ 余る．このとき， $P (x)$ を ${(x - 1)}^{2} (x - 2)$ で割ったときの余り $R (x)$ を求めなさい．

2021-11613-0303

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社会情報学部

配点率25％

易□　並□　難□

【２】　 $n$ を $2$ 以上の自然数とする．箱の中に $H ，$ $Y ，$ $O ，$ $G ，$ $O$ の各文字が $1$ つずつ記入された $5$ 枚のカード $(H, Y, O, G, O)$ が入っている．すなわち， $O$ が記入されたカードが $2$ 枚， $H ，$ $Y ，$ $G$ が記入されたカードが $1$ 枚ずつ箱に入っている．この箱から $1$ 枚のカードをとり出し，そのカードに記入されている文字を記録して箱に戻す．この試行を $n$ 回繰り返すことを考える． $O$ が連続して $2$ 回以上記録されない事象を $E_{n}$ とする．また， $n$ 回目に取り出したカードの文字が $O$ である事象を $F_{n} ，$ $O$ 以外である事象を $\overline{F_{n}}$ とする． $E_{n}$ の起こる確率を $p_{n} ，$ $E_{n} \cap F_{n}$ の起こる確率を $q_{n} ，$ $E_{n} \cap \overline{F_{n}}$ の起こる確率を $r_{n}$ とする．以下の問に答えなさい．

(1)　 $p_{2} ，$ $p_{3}$ を求めなさい．

(2)　 $p_{n + 1}$ を $q_{n}$ と $r_{n}$ を用いて表しなさい．

(3)　 $p_{n + 2}$ を $p_{n + 1}$ と $p_{n}$ を用いて表しなさい．

2021-11613-0304

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理工学部

配点率25％

易□　並□　難□

【３】　座標空間内に原点 $O$ を中心とする半径 $2$ の球面 $S_{1}$ と半径 $3$ の球面 $S_{2}$ がある．球面 $S_{2}$ 上の定点 $A$ $(0, 0, 3)$ に対し，球面 $S_{1}$ 上の点 $B$ $(a, 0, b)$ $（ a > 0 ）$ と球面 $S_{2}$ 上の点 $C$ $(x, y, z)$ が $∠AOC = ∠AOB = θ$ $（ 0 ° < θ ≦ 180 ° ）$ を満たしている． $∠BAC = α ，$ $∠BOC = β$ $（ 0 ° < β ≦ 180 ° ）$ として，以下の問に答えなさい．

(1)　 $θ = 120 °$ のとき，点 $C$ $(x, y, z)$ に対し， $z$ の値を求めなさい．また $x^{2} + y^{2}$ の値を求めなさい．

(2)　 $θ = 120 °$ のとき， $β$ のとり得る値の最大値を求めなさい．

(3)　 $θ = 120 °$ のとき， $▵ABC$ の面積が最大となる $β$ およびそのときの面積 $T_{1}$ を求めなさい．

(4)　 $θ = 60 °$ のとき， $▵ABC$ の面積が最大となる $α$ およびそのときの面積 $T_{2}$ を求めなさい．

2021-11613-0305

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社会情報学部

配点率25％

【４】，【５】から１題選択

易□　並□　難□

【４】　任意の自然数 $m$ に対して， $0$ 以上の整数 $a$ がただ $1$ つ定まり， $m$ は $m = 2^{a} b$ $（ b$ は正の奇数）と表される．この $a$ を $f (m)$ と表す．例えば， $f (40) = f (2^{3} \cdot 5) = 3$ である．また任意の自然数 $n$ に対して $S_{n}$ を

$S_{n} = \sum_{m = 1}^{n} f (m)$

と定める．以下の問に答えなさい．

(1)　 $S_{12}$ を求めなさい．

(2)　 $m < 2^{k}$ を満たす任意の自然数 $m$ と $k$ に対して， $f (m + 2^{k}) = f (m)$ であることを示しなさい．

(3)　任意の自然数 $k$ に対して $S_{2^{k}} = 2^{k} - 1$ であることを示しなさい．

(4)　任意の自然数 $n$ に対して $S_{n} < n$ であることを示しなさい．

2021-11613-0306

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社会情報学部

配点率25％

【４】，【５】から１題選択

易□　並□　難□

【５】　以下の問に答えなさい．

(1)　 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ を満たす任意の実数 $x$ に対し，次が成り立つことを示しなさい．

$\frac{2}{π} x ≦ \sin x ≦ x ，$ ただし $0 < x < \frac{π}{2}$ では等号は成立しない．

(2)　 $2$ 直線 $y = x ，$ $y = 1$ と曲線 $y = \sin x$ $(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めなさい．

(3)　 $\frac{π}{3} < \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\sin x} dx < \frac{π}{2} - \frac{1}{3} < \frac{π}{3} \sqrt{\frac{π}{2}}$ が成り立つことを示しなさい．

2021-11613-0307

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理学部

易□　並□　難□

【１】　 $0 < m < 2$ とし，平面上の異なる $3$ 点 $O ，$ $A ，$ $B$ が一直線上に並んでいないとする．このとき， $m \vec{OA}$ $+ (2 - m) \vec{OB}$ $+ m (2 - m) \vec{OC} = \vec{0}$ を満たす点 $C$ をとり，直線 $OA$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $OC$ と直線 $AB$ の交点を $E$ とする．また， $▵OBD$ の面積を $S_{1} ，$ $▵OBE$ の面積を $S_{2}$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $AE : EB$ を $m$ を用いて表せ．

(2)　 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ が最大となるときの $m$ の値を求めよ．

2021-11613-0308

2021　兵庫県立大学　中期

理学部

易□　並□　難□

【２】　次のように定められた数列 ${a_{n}}$ がある．

$a_{1} = 2 ，$ $a_{n + 1} = 2 {(a_{n})}^{2} - 1$ $（ n = 1 ， 2 ， \dots ）$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　自然数 $n$ に対して，不等式 $a_{n} > 1$ が成り立つことを示せ．

(2)　 $x$ についての $2$ 次方程式 $x^{2} - 2 a_{n} x + 1 = 0$ の $2$ つの解のうち，値が大きい方を $b_{n}$ とする．このとき $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ を用いて表せ．

(3)　 $a_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

2021-11613-0309

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理学部

易□　並□　難□

【３】　 $0 ≦ t ≦ π$ とし，平面上に $2$ 点 $P$ $(\cos t, \sin t) ，$ $Q$ $(1 + 3 \cos 2 t, - 3 \sin 2 t)$ をとる．また線分 $PQ$ の長さを $L (t)$ とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　等式 ${L (t)}^{2} = R (\cos t)$ が成り立つような多項式 $R (x)$ を求めよ．

(2)　 $L (t)$ が最大値，最小値をとるときの点 $P$ の座標をそれぞれ求めよ．

2021-11613-0310

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理学部

易□　並□　難□

【４】　複素数平面上の点 $z$ を考える．等式 $| \sqrt{2} z - 2 | = 1$ を満たす点 $z$ の全体を $C$ とし， $C$ 上の点 $z$ に対して $w = (1 + i) z$ とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $C$ はどのような図形を表すかを述べよ．また， $C$ を複素数平面上に図示せよ．

(2)　 $w$ の偏角を $θ$ とする．点 $z$ が $C$ 上を動くとき． $θ$ の最小値を求めよ．ただし $0 ≦ θ < 2 π$ とする．

(3)　 $u = \frac{w}{\overline{w}} + \frac{\overline{w}}{w}$ とおく．このとき $u$ は実数であることを示し，点 $z$ が $C$ 上を動くとき， $u$ のとりうる値の範囲を求めよ．

2021-11613-0311

2021　兵庫県立大学　中期

理学部

易□　並□　難□

【５】　関数 $f (x) = {\log (1 + \sin x)} \cos x$ $(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ について，次の問いに答えよ．

(1)　定積分 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) dx$ の値を求めよ．

(2)　関数 $f (x)$ は区間 $0 < x < \frac{π}{2}$ において，ただ $1$ つの極大値をとることを示せ．

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