2021　兵庫県立大学　後期国際商経学部MathJax

【１】　以下のⅠ，Ⅱに答えなさい．

Ⅰ.　数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}$$a_{2n}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n\text{，}$$a_{2n+1}={\displaystyle \frac{a_n{a}_{n+1}}{a_n+a_{n+1}}}$

を満たしている．以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　$a_4\text{，}$$a_5$を求めなさい．

(ⅱ)　$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【１】　以下のⅠ，Ⅱに答えなさい．

Ⅱ.　$k$を実数とし，$x$の$4$次式$f(x)=x^4+2x^3+(k+1)x^2+2kx+k$を考える．以下の$3$つの命題についてそれぞれ真偽を判定しなさい．

(ⅰ)　方程式$f(x)=0$は任意の実数$k$に対して実数解をもつ．

(ⅱ)　不等式$f(x)\geqq 0$が任意の実数$x$に対して成り立てば，$k\geqq 0$である．

(ⅲ)　不等式$f(x)\leqq 0$がある実数$x$について成り立てば，$k\leqq 0$である．

【２】　座標平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上の$3$点${\mathrm{P}}_1$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )\text{，}$${\mathrm{P}}_3$$(\cos 3\theta ,\sin 3\theta )$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$を頂点とする三角形の面積を$S$とする．ただし，$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$が一直線上にあるときは$S=0$とする．以下の問に答えなさい．

【３】　　$1\text{〜}$$7$の数字が書かれたカードが各数字$3$枚ずつ計$21$枚ある$\text{（}1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$2\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$7\text{，}$$7\text{，}$$7\text{）．}$この中から$2$枚のカードを取り出し，取り出したそれぞれのカードの数字を確かめてからもとに戻す．確かめた$2$つの数字が互いに一致する事象を$1$ペアということにする．この試行を$1$ペアが合計$3$回起こるまで繰り返す．この試行が$n$回目で終わる$\text{（}n$回目に$3$度目の$1$ペアが起こる）確率を$P_n$として，以下の問に答えなさい．ただし，$n\geqq 3$とする．