2021　奈良県立医科大学　前期医学科MathJax

【１】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$a\text{，}$$b$は正の実数とする．$x$が正の範囲で定義された関数$f(x)={(ax)}^{-bx}$を考える．この関数の値は正なので，両辺の自然対数をとると$\log f(x)=\text{ア}$となる．両辺を$x$で微分することを考え，左辺の導関数を$f(x)\text{，}$$f^{\prime }(x)$を用いて表すと${(\log f(x))}^{\prime }=\text{イ}$であり，右辺の導関数は${(\text{ア})}^{\prime }=\text{ウ}$である．よって，$f^{\prime }(x)=\text{エ}$であり，$f(x)$は$x=\text{オ}$のとき，最大値$\text{カ}$をとる．

【２】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)　辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とする．また辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\text{ア}\overrightarrow{a}+\text{イ}\overrightarrow{b}$である．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とすると$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\text{ウ}\overrightarrow{a}+\text{エ}\overrightarrow{b}$である．

(3)　直線$\mathrm{AM}$が直線$\mathrm{OB}$と交わる点を$\mathrm{R}$とすると$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\text{オ}\overrightarrow{b}$である．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{MO}}+\alpha \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{0}$が成り立つとき，$\alpha =\text{カ}\text{，}$$\beta =\text{キ}$である．

【３】　以下の問に答えよ．ただし，答のみ記入すればよい，

　整数を係数とする文字$x$に関する$5$次以下の整式全体からなる集合を$A$とする．つまり，$A$は

$\{a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2$$+a_{1}x+a_0|a_0\text{，}\cdots \text{，}{a}_5\text{は整数}\}$

という集合である．整数$k$と$A$の要素$F(x)$に対し，$T_k(F(x))$を

$T_k(F(x))=x{F}^{″}(x)-k{F}^{\prime }(x)$

と定める．ここで，$F^{\prime }(x)$は$F(x)$を$x$の関数とみた場合の導関数，$F^{″}(x)$は$F^{\prime }(x)$の導関数を表す．

(1)　$F(x)=x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6$に対し，$T_4(F(x))$を求めよ．

(2)　$A$の要素のうち$T_2(F(x))=0$を満たす整式$F(x)$全体からなる集合を求めよ．

(3)　$A$の部分集合$B$をとり，$B$のすべての要素$F(x)$に対して$T_3(F(x))$を集めると

$\{12bx+12c|b\text{，}c\text{は整数}\}$

という集合になる．そのような$B$をひとつ求めよ．

【４】　以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ．

　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$8\text{，}$$9$の$6$つの数字を，それぞれ$1$個ずつ横に並べて$6$桁の整数を作る．このとき，作ることのできる$6$桁の整数は$\text{ア}$通りであり，その総和は$\text{イ}\times 11111$である．また，作ることのできる$6$桁の整数のうち，$2$の倍数は$\text{ウ}$個あり，$4$の倍数は$\text{エ}$個あり，$9$の倍数は$\text{オ}$個あり，$11$の倍数は$\text{カ}$個ある．

【５】　$a\text{，}$$m\text{，}$$n$は正整数であり$m>n$とする．

(1)　整式$x^{16}-1$を因数分解せよ．

(2)　$a^{2^m}-1$は$a^{2^n}+1$で割り切れることを証明せよ．

(3)　$a^{2^m}+1$と$a^{2^n}+1$の最大公約数を$d$とする．$a$が偶数ならば$d=1\text{，}$奇数ならば$d=2$であることを証明せよ．