2021　奈良県立医科大学　後期医学科MathJax

【１】　$a$を正の実数定数とし，曲線

$C_1\text{：}y=a\sin (x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

と曲線

$C_2\text{：}y=e^{-x}$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

とを定める．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)　曲線$C_1$と曲線$C_2$とが共有点$\mathrm{P}$をもち，かつ$\mathrm{P}$において共通の接線をもつとき，$\mathrm{P}$の座標，および$a$の値を求めよ．

(2)　(1)において，曲線$C_1$と曲線$C_2\text{，}$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　正の実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は以下の条件をみたすとする．

・$ad-bc\ne 0\text{．}$

このとき，$2$次方程式$c{x}^2+(d-a)x-b=0$は相異なる$2$個の実数解$\alpha \text{，}$$\beta$（ただし，$\alpha >\beta \text{）}$を持つ．また，任意の正の実数$u>0$に対して，数列${\{x_n\}}_{n=1\text{，}2\text{，}\cdots }$を以下の漸化式で定める：

$x_1=u\text{，}$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{a{x}_n+b}{c{x}_n+d}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）．}$

(1)　$a-c\beta \ne 0$を証明せよ．

(2)　任意の正整数$n$について，$x_n\ne \beta$であり，かつ，任意の正整数$n$に対して，

$y_n={\displaystyle \frac{x_n-\alpha }{x_n-\beta }}$

とおくと，数列${\{y_n\}}_{n=1\text{，}2\text{，}\cdots }$は等比数列になることを証明せよ．

(3)　任意の正の実数$u$に対して，数列${\{x_n\}}_{n=1\text{，}2\text{，}\cdots }$は$n\to \infty$のとき収束することを示し，その極限値を求めよ．

【３】　正整数$a\text{，}$$b$の最大公約数を$(a,b)$で表す．

(1)　任意の正整数$m\text{，}$$n$に対して，等式

$(m+n,n)=(m,n)$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　互いに素な正整数$m\text{，}$$n$に対して，$(m+n-1)!$は$m!n!$によって割り切れることを証明せよ．

【４】　$k$を正整数，$m_1\text{，}$$m_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$m_k$を正の実数，さらに$m\text{，}$$r$を正整数とする．

(1)　集合$T$を

$T=\{{\displaystyle \sum _{i=1}^k}{a}_i{m}_i|a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_k\text{は整数，}$$\text{かつ任意の}1\leqq i\leqq k\text{に対して}{a}_i\geqq 0\}$

と定義する．$\beta$を実数とする．このとき，正の実数$\gamma$が存在し，以下の条件$(F)$をみたすことを証明せよ．

-条件$(F)\text{：}$$x\in T$について$x>\beta$ならば，$x-\beta \geqq \gamma \text{．}$

(2)　集合$S$を

$S=\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^k}{\displaystyle \frac{a_i{m}_i}{r}}\right|a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_k\text{は整数，}$$\text{かつ任意の}1\leqq i\leqq k\text{に対して}{a}_i\geqq -m\}$

と定義する．このとき，正の実数$h$が存在し，以下の条件$(M)$をみたすことを証明せよ．

-条件$(M)\text{：}$$x\in S\text{，}$$x>0$ならば$x\geqq h\text{．}$