2021 和歌山県立医科大学 前期

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2021 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】(1) 半径 1 3 つの円があり,それぞれ互いに接しているとする.これらの 3 つの円が同時に内接する円の半径を求めよ.

(2) 幅 3 高さ h の長方形の中に半径 1 2 つの円を,それらの内部が共有点をもたないように描くことを考える.それが可能となる h の最小値を求めよ.ただし,円は長方形と接してよい.

(3) 幅 3 高さ h の長方形の中に半径 1 3 つの円を,どの 2 つの円の内部も共有点をもたないように描くことを考える.それが可能となる h の最小値を求めよ.ただし,円は長方形と接してよい.

2021 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【2】 自然数 a b c n があり, a b c9 であるとする. p q r

p=2 n2+ 1 q=n p r=100 a+10 b+c- 1

のように定め,さらに r 3 で割り切れるとする.

(1)  a+b+ c-1 3 で割り切れることを示せ.

(2)  n 3 で割り切れないとき, p 3 で割り切れることを示せ.

(3)  q 3 で割り切れることを示せ.

(4)  p 5 で割り切れないことを示せ.

(5)  n=a+ b+c-1 であり, q r がともに 15 で割り切れるとする.このとき, r を最大,および最小にする a b c をそれぞれ求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上に曲線 C y=x3 がある.

(1)  C 上の点 ( t,t3 ) における接線の方程式を求めよ.

(2) 座標平面上の点で,その点から C への接線が 3 つ引けるようなものの範囲を図示せよ,

(3) 点 ( -1,4 ) を通る直線で, C に接するものはただ 1 つであることを示せ.その直線を l とするとき, l の方程式を求め,さらに C l で囲まれた部分の面積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 関数

f( x)= 1900000 (x-100 )3 - 16000 (x -100) 2+3

を考える.自然数 n に対して,曲線 y= f( x) x 軸, y 軸と直線 x =n で囲まれた領域内にある点で,各座標が自然数であるものの個数を N (n ) とする.ただし,領域は境界を含むものとする.

(1)  f( 0) f( 250) f( 290) の値を求めよ.ただし,それらが整数でないときは小数第 1 位まで求めよ.

(2)  0x 290 における f (x ) の増減表を作成し,グラフをかけ.

(3)  f( 12) f( 13) の値を求めよ.ただし,それらが整数でないときは小数第 1 位まで求めよ.さらに, N( 13) を求めよ.

(4)  f( 278) の値を求めよ.ただし,それが整数でないときは小数第 1 位まで求めよ.

(5)  N( n)-N (250 )100 となる最小の n を求めよ.

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