2021　和歌山県立医科大学　前期MathJax

(2)　幅$3\text{，}$高さ$h$の長方形の中に半径$1$の$2$つの円を，それらの内部が共有点をもたないように描くことを考える．それが可能となる$h$の最小値を求めよ．ただし，円は長方形と接してよい．

(3)　幅$3\text{，}$高さ$h$の長方形の中に半径$1$の$3$つの円を，どの$2$つの円の内部も共有点をもたないように描くことを考える．それが可能となる$h$の最小値を求めよ．ただし，円は長方形と接してよい．

$p=2n^2+1\text{，}$$q=np\text{，}$$r=100a+10b+c-1$

のように定め，さらに$r$は$3$で割り切れるとする．

(1)　$a+b+c-1$は$3$で割り切れることを示せ．

(2)　$n$が$3$で割り切れないとき，$p$は$3$で割り切れることを示せ．

(3)　$q$は$3$で割り切れることを示せ．

(4)　$p$は$5$で割り切れないことを示せ．

(5)　$n=a+b+c-1$であり，$q$と$r$がともに$15$で割り切れるとする．このとき，$r$を最大，および最小にする$a\text{，}$$b\text{，}$$c$をそれぞれ求めよ．

(1)　$C$上の点$(t,t^3)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　座標平面上の点で，その点から$C$への接線が$3$つ引けるようなものの範囲を図示せよ，

(3)　点$(-1,4)$を通る直線で，$C$に接するものはただ$1$つであることを示せ．その直線を$l$とするとき，$l$の方程式を求め，さらに$C$と$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{900000}}{(x-100)}^3$$-{\displaystyle \frac{1}{6000}}{(x-100)}^2+3$

を考える．自然数$n$に対して，曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸，$y$軸と直線$x=n$で囲まれた領域内にある点で，各座標が自然数であるものの個数を$N(n)$とする．ただし，領域は境界を含むものとする．

(1)　$f(0)\text{，}$$f(250)\text{，}$$f(290)$の値を求めよ．ただし，それらが整数でないときは小数第$1$位まで求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 290$における$f(x)$の増減表を作成し，グラフをかけ．

(3)　$f(12)\text{，}$$f(13)$の値を求めよ．ただし，それらが整数でないときは小数第$1$位まで求めよ．さらに，$N(13)$を求めよ．

(4)　$f(278)$の値を求めよ．ただし，それが整数でないときは小数第$1$位まで求めよ．

(5)　$N(n)-N(250)\geqq 100$となる最小の$n$を求めよ．