2021　岡山県立大学　中期午前MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$a_2=4\text{，}$$a_3=1$かつ数列$\{S_n\}$が等比数列のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_n$を$n$で表せ．

(2)　$a_n$を$n$で表せ．

(3)　$n{a}_1+(n-1)a_2+\cdots +2\cdot a_{n-1}+1\cdot a_n$を$n$で表せ．

【２】　$a$を正の定数とする．座標平面に$2$点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,3)$があり，直線$\mathrm{AB}$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$が異なる$2$点$\mathrm{C}$$(c,{\displaystyle \frac{1}{c}})\text{，}$$\mathrm{D}$$(d,{\displaystyle \frac{1}{d}})$で交わるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が存在するための$a$の範囲を求めよ．

(2)　$c+d$と$cd$をそれぞれ$a$で表せ．

(3)　${\mathrm{CD}}^2$を$a$で表せ．

(4)　${\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{CD}}^2\geqq 8$であることを示せ．また，等号が成り立つときの$a$の値を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，曲線$y={(\log x)}^2$を$C$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,{(\log t)}^2)$における接線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$$(0,f(t))$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$を求めよ．

(2)　$f(t)<0$を満たす$t$について，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

(3)　曲線$y={(\log x)}^2$と直線$y=1$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　袋の中に青玉，黄玉，黒玉，緑玉，赤玉がそれぞれ$1$個ずつ入っている．$1$回の試行で袋の中から玉を$3$個取り出し，色を確認した後に$3$個の玉を袋に戻す．

(1)　$1$回の試行において，青玉，黄玉，黒玉の$3$個を取り出す確率$p_1$を求めよ．

(2)　$1$回の試行において，青玉と黄玉を取り出す確率$p_2$を求めよ．

(3)　$3$回の試行において，青玉と黄玉が$1$回も取り出されない確率$p_3$を求めよ．

(4)　$n$を$2$以上の整数とする．$n$回の試行において，青玉が少なくとも$1$回は取り出される確率$p_4$を求めよ．

(5)　$n$を$2$以上の整数とする．$n$回の試行において，すべての玉が少なくとも1回は取り出される確率$p_5$を求めよ．