2021　岡山県立大学　中期午後MathJax

【１】　複素数$\beta =a+bi$（$a\text{，}$$b$は実数）に対して，複素数$a-bi$を$\bar{\beta }$で表し，$\beta$の絶対値を$\left|\beta \right|$で表す．複素数$z\text{，}$$w$が，$\left|z\right|=\left|w\right|=1\text{，}$$|z-w|=\sqrt{2-\sqrt{2}}$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　任意の複素数$\beta$に対して，$\beta \bar{\beta }={\left|\beta \right|}^2$が成り立つことを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{w}{z}}+{\displaystyle \frac{z}{w}}$を求めよ．

(3)　${\left({\displaystyle \frac{w}{z}}\right)}^8$を求めよ．

(4)　原点を$\mathrm{O}$とする複素数平面において，$z$と$w$が表す点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とするとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を求めよ．

【２】　座標平面において，放物線$y=x^2$の上を$2$点$\mathrm{A}$$(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,b^2)$が$\mathrm{AB}=2$を満たしながら移動する．ただし$a<b$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a+b=u$とおくとき，$ab$を$u$で表せ．

(2)　以下の問いでは，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$$(s,t)$とする．$s$と$t$を$u$で表せ．

(3)　$t=f(s)$を満たす関数$f(s)$を求めよ．さらに$f(s)$の最小値を求めよ．

(4)　$s>0$の範囲で$f(s)$が最小値をとる$s$に対して，$a$の値を求めよ．

【３】　座標平面において，曲線$y=|\log x|$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の概形を図示せよ．

(2)　曲線$C$の接線のうち点$\mathrm{A}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を通るものを求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$y=1$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　正六面体の各面に$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の数字を$1$つずつ書いたさいころがある．このようなさいころを$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人が同時に投げ，出た数をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(1)　$a+b+c>3$となる確率$p_1$を求めよ．

(2)　$100a+10b+c$が$3$桁の偶数である確率$p_2$を求めよ．

(3)　$100a+10b+c$が$4$で割り切れる確率$p_3$を求めよ．

(4)　$3$人が$2$回さいころを投げる．$1$回目に出た数を$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1\text{，}$$2$回目に出た数を$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$c_2$とし，$S_1=100a_1+10b_1+c_1\text{，}$$S_2=100a_2+10b_2+c_2$とおく．$S_1<S_2$となる確率$p_4$を求めよ．