2021　尾道市立大学　前期MathJax

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[A]　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円に外接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$上の接点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AE}$と等しい長さをもつ線分はどれか答えなさい．

(2)　$\mathrm{AB}+\mathrm{CD}=\mathrm{BC}+\mathrm{DA}$が成り立つことを証明しなさい．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積が$3$であるとき，$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$r$が満たす関係式を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[B]　くじの入った$\mathrm{A}$タイプと$\mathrm{B}$タイプの$2$種類の箱があり，中身のくじはそれぞれ以下のようになっている．

$\mathrm{A}$タイプ：当たり$1$本，はずれ$9$本  $\mathrm{B}$タイプ：当たり$7$本，はずれ$3$本

$\mathrm{A}$タイプの箱を$3$つ，$\mathrm{B}$タイプの箱を$1$つ，計$4$つの箱を用いてくじ引きを行う．$1$回のくじ引きでは，$4$つの箱から無作為に$1$つの箱を選び，その箱から$1$本のくじを引く．ただし$1$回くじを引くごとに，くじは元の箱へ戻し，選んだ箱も他の箱と区別がつかない状態へ戻すこととする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$1$回のくじ引きで当たりが出る確率を求めなさい．

(2)　$1$回のくじ引きで当たりが出たとする．このとき，$\mathrm{A}$タイプの物を選んでいた確率を求めなさい．

(3)　$2$回のくじ引きで$2$回ともはずれが出る確率を求めなさい．

(4)　$2$回のくじ引きで$2$回ともはずれが出たとする．このとき，少なくとも$1$回は$\mathrm{B}$タイプの箱を選んでいた確率を求めなさい．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数の定数とする．$3$次方程式

$x^3+a{x}^2+bx+c=0$$\cdots \text{(＊)}$

の解の$1$つが$x=1+i$であるとする．このとき，次の問いに答えなさい．ただし，$i$は$i^2=-1$を満たす複素数とする．

(1)　$b\text{，}$$c$をそれぞれ$a$を用いて表しなさい．

(2)　$x=1-i$は(＊)の解であることを確かめなさい．

(3)　(＊)の実数解を$a$を用いて表しなさい．

(4)　(＊)の解の実部がすべて等しいとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めなさい．