2021　広島市立大学　推薦MathJax

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問１　方程式$|x-3|=8$を満たす実数解は，$x=\text{ア}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問２　$4$人の得点$6\text{，}$$4\text{，}$$3\text{，}$$7$の平均値は$\text{イ}$であり，分散は$\text{ウ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問３　$2$個のサイコロを投げて，出る目の数の積が$6$の倍数である確率は$\text{エ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問４　$2$進法の計算${1101}_{(2)}\times {1011}_{(2)}-{11011}_{(2)}$の結果を$2$進法で表すと$\text{オ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問５　${(2x+3)}^6$の展開式における$x^4$の項の係数は$\text{カ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問６　${\displaystyle {\int }_0^1}x(x-3)(x-1)\mathit{dx}=\text{キ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問７　条件$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$について，すべての自然数$n$に対し$a_n<2$が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問８　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(3,1)$のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta =\text{ク}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問９　$z_1=2(\cos {\displaystyle \frac{5}{9}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{5}{9}}\pi )\text{，}$$z_2=\sqrt{3}(\cos {\displaystyle \frac{1}{9}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{1}{9}}\pi )$のとき，$z_1{z}_2$の値を計算すると，$z_1{z}_2=\text{ケ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問10　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\tan 2x}{x}}=\text{コ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問11　曲線$x^2-y^2=1$上の点$(\sqrt{2},-1)$における接線の方程式は$\text{サ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問12　$y={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$の導関数$y^{\prime }$は，$y^{\prime }=\text{シ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問13　$y=\log |\sin x|$の導関数$y^{\prime }$は，$y^{\prime }=\text{ス}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問14　$y=x{e}^{-x}$の第$2$次導関数$y^{″}$は，$y^{″}=\text{セ}$である．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問15　$x\text{，}$$y$は複素数とする．$2$つの条件$p\text{：}x=y=0\text{，}$$q\text{：}{x}^2+y^2=0$について，$p$は$q$であるための$\text{ソ}\text{．}$$\text{ソ}$に入る語句として最も適切なものを以下の(a)，(b)，(c)，(d)から選べ．

(a)　必要十分条件である

(b)　必要条件であるが，十分条件ではない

(c)　十分条件であるが，必要条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問16　関数$f(x)=x^3-3a{x}^2+(a^2-a)x$を考える．$\text{「}f(x)$が$x=0$において極値をとるように定数$a$を定めよ」という問題に対し，$\mathrm{A}$君は次のように解答した．

$\mathbf{A}$君の解答　条件より，$f^{\prime }(0)=0\text{．}$ここで$f^{\prime }(x)=3x^2-6ax+a^2-a$より，$f^{\prime }(0)=a^2-a=0$が成り立つので，$a=0\text{，}$$1$が求める答えである．

$\mathrm{A}$君の解答には誤りがある．誤りである点を指摘し，誤りである理由を説明せよ．

【３】　次の$$にあてはまる数，式を求めよ．また，問７，問15，問16，問17については問題文の指示にしたがって解答せよ．

問17　平地にある地点$\mathrm{A}$と地点$\mathrm{B}$を通る直線道路がある．走っている車が地点$\mathrm{A}$と地点$\mathrm{B}$の間の道路上にいるかを，車の位置情報をもとに調べることを考える．平地を$xy$平面と見立てて，点$\mathrm{A}$の座標を原点$(0,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$の座標を$(2,2)$として，直線$\mathrm{AB}$が直線道路を表すとする．また，車の位置は点$\mathrm{C}$$(X,Y)$として測定されたとする．ただし一般に，測定値$X\text{，}$$Y$には誤差が含まれるため，実際は車が道路上にいたとしても，点$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上の点であるとは限らない．そこで，次に示す条件１と条件２の両方を満たすとき，地点$\mathrm{A}$と地点$\mathrm{B}$の間の道路上に車が存在したと判定する．

条件１　点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線$l_1$と，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線$l_2$に挟まれる領域$\text{（}{l}_1$上および$l_2$上を含む）に点$\mathrm{C}$が存在する．

条件２　点$\mathrm{C}$と直線$\mathrm{AB}$の距離が$d$以下である$\text{（}d$は正の実数）．

このとき，以下の問いに答えよ．途中経過も記述すること．

(1)　条件１かつ条件２を満たす領域を連立不等式で表せ．

(2)　$(X,Y)=(1,2)\text{，}$$d={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．このとき，車は地点$\mathrm{A}$と地点$\mathrm{B}$の間の道路上に存在したかどうか判定せよ．