2021　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{x|x\text{は}30\text{以下の素数}\}\text{，}$$B=\{x|x\text{は}4\text{で割ると}1\text{余る整数}\}$

とする．このとき，集合$A\cap B$の要素をすべて列挙せよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　放物線$y=x^2-2ax+2a+4$の頂点が放物線$y=x^2$上にあるように定数$a$の値を定めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$2$次方程式$2x^2+x-2=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．${\alpha }^3+{\beta }^3$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+1$に関して点$\mathrm{A}$$(5,-4)$と対称な点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$2\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$3$の$9$個の数字を使ってできる$9$桁の整数は何個あるか求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$0\text{．}$$1\text{．}$$\text{2}$のカードが$2$枚ずつ合計$6$枚入っている袋から，無作為に$1$枚ずつ$4$回カードを取り出して，取り出した順に左から並べたとき，$\text{2}\text{0}\text{2}\text{1}$となる確率を求めよ．ただし，取り出したカードは袋に戻さないものとする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$について，$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=4\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=9$が成り立つとする．このとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が垂直になるような実数$t$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　自然数$n$について，次の和$S_n$を求めよ．

$S_n={\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 4}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 5}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}}$

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(7,7)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,7)$がある．$\mathrm{\angle AOB}=\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\cos \theta$を求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle AOB}$を二等分する直線を$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle OAB}$を二等分する直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵OAB}$の内接円の中心の座標を求めよ．

【３】　次の各問に答えよ．

(1)　関数$y=x{(1-x)}^2$の増減表を作成せよ．また，極値を求め，そのときの$x$の値も答えよ．

(2)　曲線$y=x{(1-x)}^2$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$t=2^{-x}$とおく．$x>0$のとき，$t$の取り得る値の範囲を求めよ．ただし，答のみでよい．

(4)　$x>0$の範囲で$y=-x+2{\log }_2(1-2^{-x})$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{4-x^2}{2}}}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$

とする，曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$であるものを$l$とし，その接点を$\mathrm{A}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$で直線$l$と直交する直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と(2)の直線$m$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がある．原点$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{PQ}$の距離を$h$とし，線分$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{OQ}$の長さをそれぞれ$p\text{，}$$q$とする．$\mathrm{\angle POQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，次の各問に答えよ．

(1)　$h$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　$h$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}$$b$が正の実数全体を動くとき，${\displaystyle \frac{h}{\sqrt{ab}}}$の最大値を求めよ．