2021　高知工科大学　総合選抜情報学群数学①MathJax

【１】　関数$f(x)$を$f(x)=x^3-3x+1$とし，$y=f(x)$のグラフに点$\mathrm{A}$$(2,a)$から引ける接線の本数について考える．以下の文章中の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{カ}\text{，}$$\text{ケ}\text{，}$$\text{コ}$にあてはまる数をそれぞれ答えなさい．また，空欄$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$に入れるのに最も適当なものを下の解答群のうちから一つずつ選びなさい．

(1)　関数$f(x)$を$n$で微分すると

$f^{\prime }(x)=\text{ア}{x}^2-\text{イ}$

となる．これより，関数$f(x)$は

$x=\text{ウ}$で極大値$\text{エ}$

$x=\text{オ}$で極小値$\text{カ}$

をとる．

(2)　$y=f(x)$のグラフ上の点$(t,f(t))$における接線の方程式は

$y=f^{\prime }(t)x+\text{キ}$

である．この直線が点$\mathrm{A}$を通るとき

$\text{ク}=a\cdots \text{①}$

が成り立つ．$y=f(x)$のグラフに点$\mathrm{A}$から引ける接線の本数と，$t$についての方程式$\text{①}$の解の個数は一致する．$a=-5$のとき，$y=f(x)$のグラフに点$\mathrm{A}$から$\text{ケ}$本の接線が引ける．また，$a=-1$のとき，$y=f(x)$のグラフに点$\mathrm{A}$から$\text{コ}$本の接線が引ける．