2021　高知工科大学　総合選抜情報学群プログラミングMathJax

2021-11831-0701

2021　高知工科大学　総合選抜情報学群プログラミング

A区分

B区分【１】の類題

易□　並□　難□

【１】　以下の問１，２のすべてに答えなさい．

　自然数の正の平方根の近似値を求める手続きを作りたい．この問題では，自然数の正の平方根の近似値を，その自然数の正の平方根の小数第三位を切り捨てた数とする．そのような数は，小数部分の桁数が $2$ 桁である正の数のなかで， $2$ 乗してその自然数を超えない最大の数である．

問１　 $3$ の正の平方根の近似値を求める方法を考える．以下の空欄 $ア〜$ $オ$ にあてはまる数を答えなさい．

　次の方針で $3$ の正の平方根の近似値を求める．

方針１　小数部分の桁数が $2$ 桁である正の数を $0.01$ から小さい順に列挙し， $2$ 乗して $3$ を超えるかどうか調べる． $2$ 乗して $3$ を超えなかった最後の数が $3$ の正の平方根の近似値である．

　この方針で，小数部分の桁数が $2$ 桁である正の数の $2$ 乗を順に計算すると，下のようになる．

$0.01 \times 0.01 = 0.0001$

$0.02 \times 0.02 = ア$

$⋮$

$1.73 \times 1.73 = 2.9929$

$1.74 \times 1.74 = 3.0276$

　これより， $イ$ が $3$ の正の平方根の近似値であると分かる．この方法では $3$ の正の平方根の近似値が見つかるまでに $2$ 乗の計算を $ウ$ 回行わなければならない．

　より少ない回数の $2$ 乗の計算で近似値を求めるために，次の新しい方針を考える．

方針２　近似値を，上の位から順に求める．各位には数字を $1$ から小さい順にあてはめて $2$ 乗し， $3$ を超えるかどうかを調べる．

　最初に次のように， $1$ から $1$ ずつ増やしながら， $2$ 乗して $3$ を超えるかどうかを調べることで， $1$ の位を求める．

$1 \times 1 = 1$

$2 \times 2 = 4$

　これより， $2$ 乗の計算を $2$ 回行うことで， $1$ の位は $1$ であると分かる．次に，小数第一位を求める．これは次のように， $1.1$ から $0.1$ ずつ増やしながら， $2$ 乗して $3$ を超えるかどうかを調べて求める．

$1.1 \times 1.1 = 1.21$

$⋮$

$1.7 \times 1.7 = 2.89$

$1.8 \times 1.8 = 3.24$

これより，小数部分の桁数が $1$ 桁である数の $2$ 乗の計算を $エ$ 回行うことで，小数第一位が分かる．最後に，同様にして小数第二位を求めることで， $イ$ が $3$ の正の平方根の近似値であると分かる．

　方針２で $3$ の正の平方根の近似値が見つかるまでに行う $2$ 乗の計算回数は，それぞれの位の数を求めるのに行った $2$ 乗の計算回数の和である．したがって，この方法では $3$ の正の平方根の近似値が見つかるまでに $2$ 乗の計算を $オ$ 回行う．

問２　 $100$ 未満の自然数の正の平方根は $0$ より大きく， $10$ 未満であることが分かっている．以降では， $100$ 未満の自然数 $X$ の正の平方根の近似値を求める手続きを作る．以下の空欄 $カ〜$ $コ$ にあてはまるものを解答群から選びなさい．

　まず，方針１に従って求める手続きを作る．問１で $3$ の正の平方根を求めた例で，答（求める近似値）の次の数まで計算したことに注意すると，この手続きは図１のようになる．

(01)　kotae $\leftarrow 0.01$

(02)　 $カ ≦ X$ が成り立つ間，

(03)　 $|$ kotae $\leftarrow$ kotae $+ キ$

(04)　を繰り返す

(05)　kotae $- 0.01$ を表示する

図１：方針１に従って求める手続き

　次に，方針２に従って求める手続きを作る．この手続きは図２のようになる．

(01)　kotae $\leftarrow 0.00$

(02)　tasukazu $\leftarrow 1.00$

(03)　ketaを $0$ から $2$ まで $1$ ずつ増やしながら，

(04)　 $|$ kotae $\leftarrow$ kotae $+$ tasukazu

(05)　 $| カ ≦ X$ が成り立つ間，

(06)　 $| |$ kotae $\leftarrow$ kotae $+ ク$

(07)　 $|$ を繰り返す

(08)　 $|$ kotae $\leftarrow$ kotae $-$ tasukazu

(09)　 $|$ tasukazu $\leftarrow$ tasukazu $+ ケ$

(10)　を繰り返す

(11)　 $コ$ を表示する

図２：方針２に従って求める手続き

$カ〜$ $コ$ の解答群

$①$ 　 $1$	$②$ 　 $10$	$③$ 　 $0.1$	$④$ 　 $0.01$
$⑤$ 　`kotae`	$⑥$ 　`tasukazu`	$⑦$ 　`keta`	$⑧$ 　`kotae` $\times$ `kotae`

2021-11831-0702

2021　高知工科大学　総合選抜情報学群プログラミング

B区分

A区分【１】の類題

易□　並□　難□

【１】　以下の問１〜３のすべてに答えなさい．

問１　 $3$ の正の平方根の近似値を求める方法を考える．以下の空欄 $ア〜$ $オ$ にあてはまる数を答えなさい．

　次の方針で $3$ の正の平方根の近似値を求める．

　この方針で，小数部分の桁数が $2$ 桁である正の数の $2$ 乗を順に計算すると，下のようになる．

$0.01 \times 0.01 = 0.0001$

$0.02 \times 0.02 = ア$

$⋮$

$1.73 \times 1.73 = 2.9929$

$1.74 \times 1.74 = 3.0276$

　より少ない回数の $2$ 乗の計算で近似値を求めるために，次の新しい方針を考える．

方針２　近似値を，上の位から順に求める．各位には数字を $1$ から小さい順にあてはめて $2$ 乗し， $3$ を超えるかどうかを調べる．

　最初に次のように， $1$ から $1$ ずつ増やしながら， $2$ 乗して $3$ を超えるかどうかを調べることで， $1$ の位を求める．

$1 \times 1 = 1$

$2 \times 2 = 4$

$1.1 \times 1.1 = 1.21$

$⋮$

$1.7 \times 1.7 = 2.89$

$1.8 \times 1.8 = 3.24$

(01)　kotae $\leftarrow 0.01$

(02)　 $カ ≦ X$ が成り立つ間，

(03)　 $|$ kotae $\leftarrow$ kotae $+ キ$

(04)　を繰り返す

(05)　kotae $- 0.01$ を表示する

図１：方針１に従って求める手続き

　次に，方針２に従って求める手続きを作る．この手続きは図２のようになる．

(01)　kotae $\leftarrow 0.00$

(02)　tasukazu $\leftarrow 1.00$

(03)　ketaを $0$ から $2$ まで $1$ ずつ増やしながら，

(04)　 $|$ kotae $\leftarrow$ kotae $+$ tasukazu

(05)　 $| カ ≦ X$ が成り立つ間，

(06)　 $| |$ kotae $\leftarrow$ kotae $+ ク$

(07)　 $|$ を繰り返す

(08)　 $|$ kotae $\leftarrow$ kotae $-$ tasukazu

(09)　 $|$ tasukazu $\leftarrow$ tasukazu $+ ケ$

(10)　を繰り返す

(11)　 $コ$ を表示する

図２：方針２に従って求める手続き

$カ〜$ $コ$ の解答群

$①$ 　 $1$	$②$ 　 $10$	$③$ 　 $0.1$	$④$ 　 $0.01$
$⑤$ 　`kotae`	$⑥$ 　`tasukazu`	$⑦$ 　`keta`	$⑧$ 　`kotae` $\times$ `kotae`

問３　次の方針３でも， $100$ 未満の自然数 $X$ の正の平方根の近似値を求めることができる．

方針３　まず， $X$ の正の平方根の近似値が存在する範囲を $0.01$ 以上 $10.00$ 未満とする．範囲を中央値付近で $2$ つに分け，近似値がどちらにあるかを調べることで，範囲を半分に狭める．これを，範囲が十分に狭くなるまで繰り返す．

　この方針に従って求める手続きは図３のようになる．変数ue，sita，tyuuouには小数部分が $2$ 桁である数が入る．次の(1)〜(4)に答えなさい．

(01)　ue $\leftarrow 10.00$

(02)　sita $\leftarrow 0.01$

(03)　ue $-$ sita $> 0.01$ が成り立つ間，

(04)　 $|$ tyuuou $\leftarrow ($ ue $+$ sita $) \div 2$ の小数第三位を切り捨てる

(05)　 $|$ もしtyuuou $\times$ tyuuou $≦ X$ ならば

(06)　 $| |$ sita $\leftarrow$ tyuuou

(07)　 $|$ そうでなければ

(08)　 $| |$ ue $\leftarrow$ tyuuou

(09)　 $|$ を実行する

(10)　を繰り返す

(11)　 $サ$ を表示する

図３：方針３に従って求める手続き

(1)　図３の手続きで $3$ の正の平方根の近似値を求めるとき， $1$ 回目から $4$ 回目について(04)行目を実行する直前の変数ueとsitaの値を答えなさい．

(2)　変数ueとsitaについての不等式sita $\times$ sita $≦ X <$ ue $\times$ ueを条件 $①$ と呼ぶことにする．(04)行目の実行直前に条件 $①$ が成り立っていれば，(05)行目から(09)行目の実行直後にも条件 $①$ が成り立っていることを示す．以下の空欄 $シ〜$ $チ$ に入れるべきものを $< ，$ $≦ ，$ $= ，$ $≧ ，$ $>$ から選びなさい．同じ記号を複数回選んでもよい．

　(04)行目の実行直前に条件 $①$ が成り立っているとする．(04)行目では変数ueとsitaの値は変化しないので，(04)行目の実行直後も条件 $①$ は保存される．(05)行目の条件が成立したとき，tyuuou $\times$ tyuuou $シ X$ が成り立つので，(06)行目の実行直後でもsita $\times$ sita $ス X$ が成り立つ．変数ueの値は(06)行目の実行で変化しないので $X セ$ ue $\times$ ueも成り立つ．また，(05)行目の条件が成立しなかったとき，tyuuou $\times$ tyuuou $ソ X$ が成り立つので，(08)行目の実行直後でも $X タ$ ue $\times$ ueが成り立つ．変数sitaの値は(08)行目の実行で変化しないのでsita $\times$ sita $チ X$ も成り立つ．したがって，(05)行目から(09)行目の実行直後にも条件 $①$ が成り立つ．

(3)　図３の手続きの中の $サ$ に入る変数を答えなさい．また，その変数の値が，小数部分の桁数が $2$ 桁である正の数の中で $X$ の正の平方根を超えない最大の数である理由を答えなさい．ただし，以下の性質は証明なしに使ってよい．

性質１　図３の手続きの(05)行目から(09)行目の実行直後では，常に条件 $①$ が成り立つ．

(4)　図３の手続きで(05)行目の $2$ 乗の計算が行われる回数は $10$ 回以下である．その理由を答えなさい．

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