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2021-11840-0101
2021 九州歯科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 次の関数を微分せよ.ただし, log は自然対数を表し, e は自然対数の底を表す.
① y=x⁢ log⁡( x2+ 1) ② y= sin⁡x+ cos⁡x ex
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(2) cos⁡ π12 の値を求めよ.
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(3) 1 個のさいころを 3 回続けて投げるとき,少なくとも 1 回は 1 の目が出る事象を A , 少なくとも 1 回は 6 の目が出る事象を B とする.次の問いに答えよ.
① 事象 A の確率を求めよ.
② 積事象 A ‾∩ B の確率を求めよ.
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【2】 関数 f ⁡(x )= x4+ 2⁢x3 -3 (x 2+1 )2 ⁢(x+ 1) ( x≧0 ) について,次の問いに答えよ.
(1) 等式 f ⁡(x )= A( x2+ 1) 2 + B⁢x x2 +1 + Cx+1 が x についての恒等式となるように,定数 A , B , C の値を定めよ.
(2) 定積分 ∫01 xx2 +1 ⁢dx , ∫ 01 1 x+1 ⁢dx の値をそれぞれ求めよ.
(3) t>0 に対して, I⁡( t)= ∫ 0t 1 x2+ 1⁢ dx , J⁡( t)= ∫ 0t 1 ( x2+ 1) 2 ⁢dx とおく.このとき,定積分の部分積分法を用いて, I⁡( t)+ [ x x2+ 1] 0t を, J⁡( t) で表せ.
(4) J⁡( 1) の値を求めよ.ただし, I⁡( 1)= π4 であることを用いてよい.
(5) 定積分 ∫01 f⁡ (x) ⁢dx の値を求めよ.
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【3】 整数 i , j に対し,実数 a ⁡(i ,j) が次の条件(A),(B),(C)をすべて満たすとする.
(A) a⁡( 0,0) =0 , a⁡( i,i) =4 π⁢ (1+ 13+ 15 +⋯+ 1 2⁢i- 1 ) ( i=1 ,2 ,3 ,⋯ )
(B) すべての整数 i , i に対して,
a⁡( i,j) =a⁡( j,i ) =a⁡ (−i, j)= a⁡( j,−i )
(C) すべての整数 i , j に対して,
a⁡( i,j) = 14⁢ {a⁡ (i+ 1,j) +a⁡( i−1, j) +⁡a⁡ (i, j+1) +a⁡( i,j−1 )} −δ (0, 0) ⁡(i ,j)
ただし, δ( 0,0) ⁡( i,j ) は, (i, j)= (0, 0) のとき δ (0, 0) ⁡(0 ,0)= 1, (i, j)≠ (0, 0) のとき δ (0, 0) ⁡(i ,j)= 0 とする.
このとき,次の問いに答えよ.
(1) 条件(C)において, a⁡( 0,0 ) を, a⁡( 1,0 ) を用いて表せ.
(2) a⁡( 1,0 ) の値を求めよ.
(3) a⁡( 2,0 ) の値を求めよ.
(4) a⁡( 2,1 ) の値を求めよ.