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2021 九州歯科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 次の関数を微分せよ.ただし, log は自然対数を表し, e は自然対数の底を表す.

  y=x log( x2+ 1)     y= sinx+ cosx ex

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易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2)  cos π12 の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(3)  1 個のさいころを 3 回続けて投げるとき,少なくとも 1 回は 1 の目が出る事象を A 少なくとも 1 回は 6 の目が出る事象を B とする.次の問いに答えよ.

 事象 A の確率を求めよ.

 積事象 A B の確率を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )= x4+ 2x3 -3 (x 2+1 )2 (x+ 1) x0 について,次の問いに答えよ.

(1) 等式 f (x )= A( x2+ 1) 2 + Bx x2 +1 + Cx1 x についての恒等式となるように,定数 A B C の値を定めよ.

(2) 定積分 01 xx2 +1 dx 01 1 x+1 dx の値をそれぞれ求めよ.

(3)  t>0 に対して, I( t)= 0t 1 x2+ 1 dx J( t)= 0t 1 ( x2+ 1) 2 dx とおく.このとき,定積分の部分積分法を用いて, I( t)+ [ x x2+ 1] 0t を, J( t) で表せ.

(4)  J( 1) の値を求めよ.ただし, I( 1)= π4 であることを用いてよい.

(5) 定積分 01 f (x) dx の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 整数 i j に対し,実数 a (i ,j) が次の条件(A),(B),(C)をすべて満たすとする.

(A)  a( 0,0) =0 a( i,i) =4 π (1+ 13+ 15 ++ 1 2i- 1 ) i=1 2 3

(B) すべての整数 i i に対して,

a( i,j) =a( j,i ) =a (i, j)= a( j,i )

(C) すべての整数 i j に対して,

a( i,j) = 14 {a (i+ 1,j) +a( i1, j) +a (i, j+1) +a( i,j1 )} δ (0, 0) (i ,j)

ただし, δ( 0,0) ( i,j ) は, (i, j)= (0, 0) のとき δ (0, 0) (0 ,0)= 1 (i, j) (0, 0) のとき δ (0, 0) (i ,j)= 0 とする.

このとき,次の問いに答えよ.

(1) 条件(C)において, a( 0,0 ) を, a( 1,0 ) を用いて表せ.

(2)  a( 1,0 ) の値を求めよ.

(3)  a( 2,0 ) の値を求めよ.

(4)  a( 2,1 ) の値を求めよ.

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