2021　北九州市立大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は次の式を満たすとする．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{10}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{{10}^{3n}}{a_n^2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの積を$P_n$とし，${\log }_{10}{P}_n$について考える．まず，数列$\{b_n\}$を

$b_n={\log }_{10}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおき，数列$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$と$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　$b_{n+1}$を$b_n$と$n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　${\log }_{10}{P}_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　座標平面上で関数$f(x)=|x^2-2x-3|$で表される曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．曲線$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,0)$とし，曲線$C$上に点$\mathrm{T}$$(t,f(t))$をとる．ただし，$a<t<b$を満たすとする．曲線$C$上の点$\mathrm{T}$における接線を$l$とし，直線$l$と曲線$C$との交点を$\mathrm{P}$$(p,f(p)\text{)，}$$\mathrm{Q}$$(q,f(q))$とする．ただし，$p<t<q$を満たすとする．曲線$C$と線分$\mathrm{TP}$で囲まれた領域の面積を$S_1$とし，曲線$C$と線分$\mathrm{TQ}$で囲まれた領域の面積を$S_2$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　$a$と$b$の値を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を$t$を用いて表せ．

(3)　$p$と$q$を$t$を用いて表せ．

(4)　$t=2$のとき，$S_1$の値を求めよ．

(5)　$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

【３】　座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心とし半径$1$の円周上に$3$点$\mathrm{A}$$(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,0)$をとる．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．三角形$\mathrm{AOC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{AOC}$の外接円の中心を$\mathrm{K}$とし半径を$R$とする．また，三角形$\mathrm{ABO}$の外接円の中心を${\mathrm{K}}^{\prime }$とする．さらに，三角形$\mathrm{OK}{\mathrm{K}}^{\prime }$の面積を$S$とする．以下の問題に答えよ，

(1)　線分$\mathrm{AC}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{G}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$が$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$の範囲を動くとき点$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

(4)　$R$を$\theta$を用いて表せ．

(5)　点$\mathrm{K}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(6)　$S$を$\theta$を用いて表せ．また，$\theta$が$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}$さんは$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれたカード$5$枚を持っている．$\mathrm{B}$さんも同様に$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれたカード$5$枚を持っている．$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんはそれぞれ手持ちのカードからランダムに$1$枚のカードを同時に出し，カードの数字が異なる場合は$\mathrm{A}$さんの勝ち，カードの数字が同じ場合は$\mathrm{B}$さんの勝ちとなるゲームを行う．このゲームを複数回続けて行う場合は，各回で出したカードはそれ以降は使わないとする．以下の問題に答えよ．

(1)　ゲームを$1$回のみ行うとき，$\mathrm{A}$さんが勝つ確率を求めよ．

(2)　ゲームを$3$回続けて行うとき，$\mathrm{A}$さんが$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の$3$枚のカードを出す確率を求めよ．ただし，出したカードはどの順番でもよい．

(3)　ゲームを$2$回続けて行うとき，$\mathrm{A}$さんが$2$回とも勝つ確率を求めよ．

(4)　ゲームを$3$回続けて行うとき，$1$回目と$3$回目は$\mathrm{A}$さんが勝ち，$2$回目は$\mathrm{B}$さんが勝つ確率を求めよ，

(5)　ゲームを$2$回続けて行い$\mathrm{A}$さんが$2$回目に勝っているとき，$1$回目に出した$\mathrm{A}$さんのカードの数字が$1$回目に出した$\mathrm{B}$さんのカードの数字よりも大きかった確率を求めよ．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　濃度が$25\mathrm{\%}$の食塩水$\mathrm{A}$と濃度が$10\mathrm{\%}$の食塩水$\mathrm{B}$を混合して，濃度が$16\mathrm{\%}$以上$17\mathrm{\%}$以下の食塩水$300\mathrm{g}$をつくる．このとき，必要となる食塩水$\mathrm{B}$は$\text{ア}\mathrm{g}$以上$\text{イ}\mathrm{g}$以下である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　頂点を$(1,-3)$とする$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフがある．このグラフを$y$軸に関して対称移動すると点$(-2,-7)$を通る．このとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$はそれぞれ$a=\text{ウ}\text{，}$$b=\text{エ}\text{，}$$c=\text{オ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$\sin \theta -\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき，$\sin \theta \cos \theta =\text{カ}$であり，${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =\text{キ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$1$個のサイコロを投げる試行をくり返し，奇数の目が$3$回連続もしくは$6$の目が$3$回連続で出たときにこの試行を終了する．サイコロを$5$回投げ終わるまでに試行が終了する確率は$\text{ク}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　最小公倍数が$180$である$2$つの自然数$a\text{，}$$b$の組のうち，$a$と$b$の和が$105$となるものは$(a,b)=(\text{ケ},\text{コ})$である．ただし，$a<b$とする．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　方程式$x^2-3x-1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\alpha }^4-{\beta }^4$の値は$\text{サ}$である．ただし，$\alpha >\beta$とする．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$3$点$\mathrm{A}$$(0,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,-6)$を通る円は，$\mathrm{A}$$(0,3)$と$(\text{シ},\text{ス})$の$2$点で$y$軸と交わる．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$5\sin \theta +\cos 2\theta >3$を満たす$\theta$の範囲は$\text{セ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$y={\displaystyle \frac{{\log }_{10}x-9.1}{1.5}}$のとき，$x$が$2$倍になると$y$は$\text{ソ}$増加する．一方，$y$を$1$増加させるためには$x$を$\text{タ}$倍にする必要がある．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+2^n$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は$\text{チ}$である．

【３】　関数$f(x)=3x{e}^{-\frac{3}{2}{x}^2}$について，以下の問いに答えよ．問１では，空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３では，答えを導く過程も示すこと．

問１

(1)　関数$f(x)$は$x=\text{ナ}$で極大値$\text{ニ}$をとり，$x=\text{ヌ}$で極小値$\text{ネ}$をとる．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,3a{e}^{-\frac{3}{2}{a}^2})$における接線の方程式は$\text{ノ}$と表される．

(3)　関数$f(x)$の不定積分は，積分定数を$C$として${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\text{ハ}+C$と表される．

問２　点$({\displaystyle \frac{3}{2}},0)$から曲線$y=f(x)$に接線を引くとき，接点の座標を求めよ．

問３　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{3}{2}}x$で囲まれたすべての部分の面積の総和を求めよ．

【４】　座標平面上の図形について，中心が原点，$x$軸方向の長軸の長さが$4\sqrt{2}\text{，}$$y$軸方向の短軸の長さが$4$の楕円を$C$とする．以下の問いに答えよ．問１では証明や説明は必要としない．問２，問３，問４では答えを導く過程も示すこと．

問１　楕円$C$の方程式を求めよ．

問２　楕円$C$を$y$軸方向に$\sqrt{2}$倍に拡大するとどのような曲線になるか．この曲線を表す方程式を求めよ．

問３　点$(0,2\sqrt{2})$を通り，楕円$C$に第一象限で接する直線の方程式を求めよ．

問４　楕円$C$の外部に点$\mathrm{P}$$(p,q)$をとる．点$\mathrm{P}$から$C$に引いた$2$本の接線について相異なる接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$2$本の接線が点$\mathrm{P}$で直交するように点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．