2021　北九州市立大学　後期MathJax

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$x=3+\sqrt{3}\text{，}$$y=3-\sqrt{3}\text{，}$$z=-1$のとき，

$x^2+y^2+z^2=\text{ア}\text{，}$

$x^3+y^3+z^3=\text{イ}$

となる．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$x^2-4|x-1|-1\leqq 0$を満たす$x$の値の範囲は$\text{ウ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　赤玉$5$個，白玉$3$個が入っている袋がある．この袋から玉を$1$個取り出して色を確認し，元に戻す試行を考える．

　$1$回目に赤玉，$2$回目に白玉が取り出される確率は$\text{エ}$である．また，$3$回の試行で両方の色の玉が少なくとも$1$回取り出される確率は，$\text{オ}$である．

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$3$つの点$\mathrm{A}$$(1,1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,0,3)$および$\mathrm{C}$$(x,0,0)$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．以下の問いに答えよ．問１と問３については，空欄に入れるのに適する数値，ベクトル，記号または数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問４については，答えを導く過程も記すこと．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は，成分を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\text{カ}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\text{キ}$

と表されるから，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\text{ク}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\text{ケ}$

となる．

問２　$\mathrm{▵ABC}$の面積の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

問３　点$\mathrm{P}$が平面$\alpha$上にあるとき，実数$s\text{，}$$t$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{BF}}=s\overrightarrow{\mathrm{BA}}+t\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

と表すと，$x=6$のとき，

$\begin{array}{ll}\overrightarrow{\mathrm{OP}}& =\text{コ}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{サ}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\text{シ}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\\ & =(\text{ス},\text{セ},\text{ソ})\end{array}$

となる．

問４　$x=6$のとき，線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

【３】　座標平面上において曲線$C\text{：}{y}^2=x^3+x^2$で囲まれる領域の面積を求めたい．問１については，空欄に入れるのに適する数値，記号または数式を解答箇所に記せ．また，空欄$\text{ツ}$にはすべての解を記すこと．証明や説明は必要としない．問２と問３については，答えを導く過程も記すこと．

問１　曲線$C$と$x$軸との交点を求める．まず，曲線$C$の方程式の右辺を因数分解すると，

$y^2=\text{タ}$

となる．上式において，$y^2\geqq 0\text{，}$$x^2\geqq 0$であることから，$x$の値の範囲は，

$x\geqq \text{チ}$

となる．また，$y=0$とすると，$\text{タと同じ}=0$の解は，

$x=\text{ツ}$

となる．

　次に関数$f(x)=x\sqrt{x+1}$について考える．このとき，曲線$y=f(x)$と曲線$y=-f(x)$は曲線$C$を構成する．区間$x>\text{チと同じ}$で関数$f(x)$は微分可能であり，

$f^{\prime }(x)=\text{テ}$

となるので，$f^{\prime }(x)=0$の解は，

$x=\text{ト}$

となる．

問２　問１の関数$f(x)$の増減を調べ，グラフをかけ．

問３　曲線$C$で囲まれる領域の面積を求めよ．