2021　東北学院大学　前期文系全学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$y=ax+b$$\text{（}-2\leqq x\leqq 5\text{）}$の値域が$1\leqq y\leqq 12$であるとき，定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$a^3-2a^{2}b-a{b}^2+2b^3$を因数分解せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　循環小数$0.\stackrel{\cdot }{0}95\stackrel{\cdot }{7}$を既約分数で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{AC}=5\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=135\mathrm{°}$である三角形$\mathrm{ABC}$について，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，三角形$\mathrm{ABM}$の面積を求めよ．

【２】　実数$x\text{，}$$y$が$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x+y=2$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$xy$の最大値と最小値およびそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(ⅱ)　$t=xy$とおくとき，$x^2{y}^2+x^2+3xy+y^2$を$t$の式で表せ．

(ⅲ)　$x^2{y}^2+x^2+3xy+y^2$の最大値と最小値およびそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$0$以上の実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が$a+b\geqq c$をみたすとき，

${\displaystyle \frac{a}{1+a}}+{\displaystyle \frac{b}{1+b}}\geqq {\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{1+c}}$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　(ⅰ)で示した不等式について，等号が成り立つための条件を求めよ．

(ⅲ)　$0$以上の実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が

${\displaystyle \frac{a}{1+a}}+{\displaystyle \frac{b}{1+b}}\geqq {\displaystyle \frac{c}{1+c}}$

をみたすとき，$a+b\geqq c$は成り立つか．成り立つならば証明し，成り立たないならば反例をあげよ．

【４】　関数$F(x)={\displaystyle {\int }_1^x}(t^2+t-2)\mathit{dt}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$F(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　方程式$F(x)=F(0)$の解を求めよ．

【５】　自然数$n$に対して，$a_k={\displaystyle \frac{{}_{n}C_k}{k+1}}$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，${}_{n}C_k$は異なる$n$個の中から異なる$k$個を取る組合せの総数を表す．

(ⅰ)　$n=3\text{，}$$4\text{，}$$5$のとき，$a_k$が最大となる$k$の値をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　自然数$n$に対して，$a_k$が最大となる$k$を$n$の式で表せ．

【６】　$2$以上の整数$n$に対して，等式

${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2-1}}={\displaystyle \frac{3n^2-n-2}{4n^2+4n}}$

が成り立つことを示せ．