2021　東北学院大学　前期工学部全学部MathJax

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$のとき，$a^3+ab+b^3$の値は$\text{(ア)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\alpha \text{，}$$\beta$が鋭角で，$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{，}$$\tan \beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{5}}$のとき，$\alpha +\beta$を弧度（ラジアン）で表すと$\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　不等式$0\leqq y\leqq 5x-x^2$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$は$\text{(ウ)}$組ある．

【２】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_n=2^{\frac{n}{2}}\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{4}}\text{，}$$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$

このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(ⅱ)　$S=a_1+a_2+\cdots +a_8$を求めよ．

(ⅲ)　$T=a_1+a_2+\cdots +a_{24}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=|x(x+2)|-x^2+2\left|x\right|$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフと$x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$における$y=f(x)$の接線$l$との交点の座標をすべて求めよ．

(ⅲ)　$y=f(x)$と(ⅱ)で求めた接線$l$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\sin x\sin 2x+\cos x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の極大値および極小値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，変曲点は求めなくてよい．

(ⅲ)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．