2021　東北学院大学　前期分割文，経済，経営，法，教養学部2月2日MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$y=x^2+px+q$$\text{（}2\leqq x<5\text{）}$の値域が$3\leqq y\leqq 10$であるとき，定数$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　不等式$2x-6<y<-x+4$をみたす正の整数$x\text{，}$$y$の組をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　集合$X$の部分集合$A\text{，}$$B$に関する以下の条件のうち，$A\subset B$と同値であるものをすべてあげよ．ただし，$\bar{A}$は集合$A$の補集合，$\varphi$は空集合を表す．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\cos \mathrm{\angle ABC}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\text{，}$$\cos \mathrm{\angle ACB}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$である三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$8x^2+2(a-6)x+4-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　方程式$2{\sin }^2\theta -3\sin \theta +1=0$の解を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

(ⅲ)　方程式$8{\sin }^2\theta +2(a-6)\sin \theta +4-a=0$が$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$において異なる$4$つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　正の実数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3$が$x_1<x_2<x_3$と

$({\log }_2{x}_2-{\log }_2{x}_1)({\log }_2{y}_3-{\log }_2{y}_1)$$=({\log }_2{x}_3-{\log }_2{x}_1)({\log }_2{y}_2-{\log }_2{y}_1)$

をみたすとき，

$y_1=a{x}_1^b\text{，}$$y_2=a{x}_2^b\text{，}$$y_3=a{x}_3^b$

となるような定数$a\text{，}$$b$が存在することを示せ．

【４】　多項式$f(x)$が

$x{f}^{\prime }(x)+{\displaystyle {\int }_1^x}f(t)\mathit{dt}=2x^2+x+1$

をみたすとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　多項式$f(x)$の次数を求めよ．

(ⅱ)　多項式$f(x)$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$n$を奇数とするとき，$n^2-1$は$8$の倍数であることを示せ．

(ⅱ)　$m\text{，}$$n$を奇数とするとき，

${\displaystyle \frac{{(mn)}^2-1}{8}}-{\displaystyle \frac{m^2-1}{8}}-{\displaystyle \frac{n^2-1}{8}}$

は$8$の倍数であることを示せ．

(ⅲ)　$m\text{，}$$n$を奇数とするとき，

${\displaystyle \frac{{(mm)}^2-1}{8}}+{\displaystyle \frac{m^2-1}{8}}+{\displaystyle \frac{n^2-1}{8}}$

は偶数であることを示せ．

【６】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1$をみたすとする．また$t$を実数とし，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|$を$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$と$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　$|{\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2-1|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|$を示せ．