2021　東北学院大学　前期分割文，経済，教養学部2月3日MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$次関数$f(x)=-x^2+px+q$は$f(5)=f(8)$をみたし，$f(x)$の最大値は$21$であるとする．このとき，定数$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　不等式$|x+2|-|x-3|<4$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　${\displaystyle \frac{3}{5-\sqrt{23}}}$の整数部分を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が$\mathrm{\angle ABC}=150\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=2\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{DA}=5$をみたすとき，$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．ただし，$\sqrt{3}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．

(ⅰ)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を有理数とする．$a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3}$のとき，$a=c\text{，}$$b=d$を示せ．

(ⅱ)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を整数とする．$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が$p+q\sqrt{3}$$\text{（}p\text{，}$$q$は有理数）を解にもつとき，$p-q\sqrt{3}$もこの方程式の解であることを示せ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表し，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$で表すとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　等式

${\displaystyle \frac{\cos A}{a}}+{\displaystyle \frac{\cos B}{b}}+{\displaystyle \frac{\cos C}{c}}={\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}}$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　不等式

${\displaystyle \frac{\cos A}{a}}+{\displaystyle \frac{\cos B}{b}}+{\displaystyle \frac{\cos C}{c}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})$

が成り立つことを示せ．

【４】　不等式

$2{({\log }_{\sqrt{2}}x)}^2-40{\log }_9\sqrt{x}-3>0$$\cdots \text{(1)}$

について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$t={\log }_{3}x$とおくとき，不等式(1)をその式で表せ．

(ⅱ)　不等式(1)をみたす最小の自然数$x$を求めよ．

【５】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正六角形$\mathrm{ABCDEF}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$7$個の点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$から$3$点を選んで三角形を作るとき，三角形は全部で何個できるか．

(ⅱ)　(ⅰ)で作ったすべての三角形の面積の平均値を求めよ．

【６】　実数$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表すことにする．自然数$n$に対して数列$\{a_n\}$を$a_n=[\sqrt{n}]$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　自然数$m$に対して$a_n=m$となる$n$の個数を$m$を用いて表せ．

(ⅱ)　$S=a_1+a_2+\cdots +a_{99}$の値を求めよ．