2021　東北学院大学　前期分割工(機械知能工,情報基礎工学科)学部MathJax

$f(x)=x^2-bx-a^2+1$

を考える．$y=f(x)$のグラフが$x$軸の$0<x<2$の部分と異なる$2$点で交わるような$(a,b)$の集合を$A$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x$についての$2$次方程式$x^2-2bx-a^2+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような$(a,b)$の集合$B$を$ab$平面上に図示せよ．

(ⅱ)　$f(2)>0$となる$(a,b)$の集合$C$を$ab$平面上に図示せよ．

(ⅲ)　$A$を$ab$平面上に図示せよ．

(ⅰ)　接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$C_1$と$l$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を$t$の式で表せ．

(ⅲ)　$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の極大値および極小値を与える$x$の値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty \text{，}$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$を用いてよい．また，変曲点は求めなくてよい．

(ⅲ)　$x$軸の$x\geqq 0$の部分，$y=f(x)$のグラフ，および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．