2021　東北学院大学　前期工学部全学部数学選択MathJax

【１】　袋の中に$1$と書かれたカードが$6$枚，$0$と書かれたカードが$4$枚入っている．最初に$\mathrm{A}$さんが$2$枚，次に$\mathrm{B}$さんが$2$枚を袋から取り出して，持っているカードの数字の和の大小を競う．ただし，取り出したカードは元に戻さないものとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$さんの持っているカードの数字の和が$0$で，かつ，$\mathrm{B}$さんの持っているカードの数字の和が$1$である確率を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{B}$さんの持っているカードの数字の和が$1$である確率を求めよ．

(ⅲ)　$\mathrm{B}$さんの持っているカードの数字の和が$1$である条件の下で，$\mathrm{B}$さんが勝利する条件付き確率を求めよ．

【２】　整式$P(x)={(x+1)}^2$を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$P(P(x))$を展開した形で求めよ．

(ⅱ)　$P(P(x))-x$を$P(x)-x$で割った商と余りを求めよ．

(ⅲ)　$P(P(P(x)))-x$を$x^2+x+1$で割った余りを求めよ．ただし，商は求めなくてよい．

【３】　直角三角形$\mathrm{ABP}$について，$\mathrm{\angle APB}=90\mathrm{°}$であり，$2$辺$\mathrm{AP}\text{，}$$\mathrm{PB}$の長さの差が$2$である．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$(-5,0)\text{，}$$(5,0)$で点$\mathrm{P}$が第$1$象限にあるとする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　外接円の半径を求めよ．

(ⅱ)　内接円の半径を求めよ．

(ⅲ)　直角三角形$\mathrm{ABP}$の重心の座標を求めよ．