2021　青山学院大学　経済学部B方式MathJax

【１】(1)　$\alpha +\beta =2\text{，}$$\alpha \beta =4$とする．このとき${\alpha }^6+{\beta }^6=\text{1}\text{2}\text{3}$であり，${\displaystyle \frac{{\alpha }^7-{\beta }^7}{\alpha -\beta }}=\text{4}\text{5}$である．

【１】(2)　$\sin {\displaystyle \frac{7}{12}}\pi \text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{7}{12}}\pi$の値は，それぞれ

$\sin {\displaystyle \frac{7}{12}}\pi ={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{6}}+\sqrt{2}}{\text{7}}}$

$\cos {\displaystyle \frac{7}{12}}\pi ={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{8}}-\sqrt{\text{9}}}{\text{10}}}$

である．また$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{24}}$の値は，

$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{24}}=\sqrt{2}-\sqrt{\text{11}}+\sqrt{\text{12}}-\text{13}$

である．

【１】(3)　$\sqrt{n^2+2n+16}$が整数となるような整数$n$は，小さい方から順に，$\text{14}\text{15}\text{，}$$\text{16}\text{17}\text{，}$$\text{18}\text{，}$$\text{19}$である．

【１】(4)　曲線$y=x^3-4x$は，その曲線上の点$(a,a^3-4a)$における接線と，接点以外に共有点をもち，その座標は$(\text{20}\text{21}a,\text{22}\text{23}{a}^3+\text{24}a)$である．ただし$a\ne 0$とする．またこの曲線と接線で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{25}\text{26}}{\text{27}}}{a}^{\text{28}}$である．

【２】(1)　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

1．${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{50}$を小数で表したとき，小数第$\text{29}\text{30}$位に初めて$0$でない数字が表れる．

2．$3^{132}$は$\text{31}\text{32}$桁の数であり，下$3$桁は$\text{33}\text{34}\text{35}$である．

【２】(2)　関数$y=a|x-5|-b$$\text{（}a>0\text{）}$と円$x^2+y^2-10x+16y+69=0$が$3$個の共有点をもつとする．

1．$b=\text{36}+\text{37}\sqrt{\text{38}}$である．

2．$a=\sqrt{\text{39}}$のときこれら$3$個の共有点を頂点とする三角形の面積が最大となり，その面積は$\text{40}\text{41}\sqrt{\text{42}}$である．

【２】(3)　$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められた数列$\{a_n\}$がある．

1．$a_{10}=\text{43}\text{44}\text{，}$$a_{15}=\text{45}\text{46}\text{47}$である．

2．数列$\{a_n\}$の一般項は

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\text{48}}}}\{{\left({\displaystyle \frac{\text{49}+\sqrt{\text{50}}}{\text{51}}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{\text{49}-\sqrt{\text{50}}}{\text{51}}}\right)}^n\}$

となる．

【３】(1)　右の図のような道のある地域で，次のような最短の道順は何通りあるか．

1．$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで行く道順は$\text{52}\text{53}$通りある．

2．$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$を通って$\mathrm{B}$まで行く道順は$\text{54}\text{55}$通りある．

3．$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$を通らずに$\mathrm{B}$まで行く道順は$\text{56}\text{57}$通りある．

4．$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$を通って$\mathrm{D}$を通らずに$\mathrm{B}$まで行く道順は$\text{58}$通りある．

【３】(2)　ある政党の支持率は約$60\mathrm{\%}$であると予想されている．この支持率を，信頼区間の幅が$4\mathrm{\%}$以下となるように推定したい．信頼度$95\mathrm{\%}$で推定するには，$\text{59}\text{60}\text{61}\text{62}$人以上を抽出して調べればよい．

【３】(3)　円$x^2+y^2=1$の周上の点$\mathrm{P}$$(x_1,y_1)$および$\mathrm{Q}$$(x_2,y_2)$を考える．ただし$x_1<x_2\text{，}$$y_1\geqq 0\text{，}$$y_2\geqq 0$とする．直線$\mathrm{PQ}$の上方にある弧$\mathrm{PQ}$を弦$\mathrm{PQ}$で折り返したとき，折り返された弧が$x$軸に点$\mathrm{R}$$(x_3,0)$で接したとする，弦$\mathrm{PQ}$の長さを$m$とする．

1．$x_3={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$m={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{63}\text{64}}}{\text{65}}}$である．

2．$m$の最大値は，$\sqrt{\text{66}}$である．

3．$m$の最小値は，$\sqrt{\text{67}}$である．

【４】　ある都市における感染症の流行の推移を，$3$つの数列の漸化式で表した．漸化式は$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$で成り立つものとする．

$\{\begin{array}{ll}{S}_{n+1}=S_n-\beta S_n{I}_n& \cdots \text{①}\\ I_{n+1}=I_n+\beta S_n{I}_n-\gamma I_n& \cdots \text{②}\\ R_{n+1}=R_n+\gamma I_n& \cdots \text{③}\end{array}$

ここで$S_n\text{，}$$I_n\text{，}$$R_n$は，それぞれ第$n$週における未感染者数，感染者数，回復者数を表す．$\beta$および$\gamma$は，それぞれ感染率，回復率を示し，$0<\beta <1\text{，}$$0<\gamma <1$とする．また$S_1=N>0\text{，}$$I_1=M>0\text{，}$$R_1=0\text{，}$$\beta I_n<1$とする．${\displaystyle \frac{\beta N}{\gamma }}$を基本再生産数，${\displaystyle \frac{\beta S_n}{\gamma }}$を第$n$週の実効再生産数と呼ぶ．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$S_n+I_n+R_n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\beta N}{\gamma }}>1$を仮定して，$I_n$のグラフ（$n$が横軸，$I_n$が縦軸）をかけ．さらにその特徴を記述せよ．

(3)　(2)の理由を「基本再生産数」と「実効再生産数」の用語を使って説明せよ．ただし公比の絶対値が$1$未満の等比数列$\{a_n\}$は，$n$が限りなく大きくなるとき$a_n$が$0$に限りなく近づくという性質は使ってもよい．

(4)　${\displaystyle \frac{\beta N}{\gamma }}<1$となるためにはどうすればよいか，「感染率」，「回復率」の用語を使って，例を挙げて具体的に説明せよ．