2021　学習院大学　理（コア），文（プラス）学部MathJax

【１】　大中小の$3$つのさいころを投げて，出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(1)　$a+b+c\geqq 8$となる確率を求めよ．

(2)　$a+b+c$が偶数であるという条件のもとで$abc\leqq 8$となる確率を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は，既約分数で答えよ．

【２】　複素数$\alpha$は$\left|\alpha \right|=1$を満たしている．

(1)　条件

(＊)　$\left|z\right|=c$かつ$|z-\alpha |=1$

を満たす複素数$z$がちょうど$2$つ存在するような実数$c$の範囲を求めよ．

(2)　英数$c$は(1)で求めた範囲にあるとし，条件(＊)を満たす$2$つの複素数を$z_1\text{，}$$z_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{z_1-z_2}{\alpha }}$は純虚数であることを示せ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}(x^2+1)\cos 2x\mathit{dx}$

を求めよ．

【３】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(2)　${(2x+3y-1)}^5$を展開した多項式の$x^2{y}^2$の係数を求めよ．

【４】　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を満たす実数$x$に対して，$t=\tan x$とおく．

(1)　$\tan 3x$を$t$で表せ．

(2)　$x$が$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{{\tan }^{3}x}{\tan 3x}}$の最大値を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．