2021　学習院大学　推薦数学科MathJax

2021　学習院大学　推薦数学科

易□　並□　難□

【１】　次の極限を求めよ．

(1)　 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2 x - \cos 3 x}{x^{2}}$

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【１】　次の極限を求めよ．

(2)　 $\underset{n \to \infty}{iim} \frac{2^{2} + 3^{2} + \dots + {(n + 1)}^{2}}{n^{3} - 2 n}$

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【２】　関数 $f (x) = (9^{x} + 9^{- x + 1}) - 6 \cdot (3^{x} + 3^{- x + 1})$ を考える．

(1)　 $t = 3^{x} + 3^{- x + 1}$ とおくとき， $f (x)$ を $t$ の式で表せ．

(2)　 $x$ が実数全体を動くとき， $f (x)$ の最小値と，最小値を与える $x$ の値を求めよ．

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【３】　すべての自然数 $n$ に対し，不等式

$\sqrt{n} ≦ \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} ≦ 2 \sqrt{n} - 1$

が成り立つことを証明せよ．

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【４】　実数 $a$ に対して，関数 $f (x) = (x^{2} - a x + a) e^{- x}$ を考える． $x$ が $x ≧ 0$ の範囲を動くとき， $f (x)$ の最大値を $a$ を用いて表せ．