2021　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{シ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　${(1+i)}^{10}$を展開して得られる複素数は$\text{ア}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{シ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　$x$の関数$f(x)=x^2+ax+b$がある．方程式$f(x)=0$の$2$つの実数解の差が$1$であり，$x$の値が$2$から$5$まで変わるときの$f(x)$の平均変化率が${\displaystyle \frac{13}{2}}$であるとき，$a$の値は$\text{イ}\text{，}$$b$の値は$\text{ウ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{シ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　$xy$平面上において，点$\mathrm{P}$は$2$点$\mathrm{A}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(7,0)$に対して$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=3:4$を満たす．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式は$\text{エ}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$の軌跡を境界線とする$2$つの領域のうち，点$\mathrm{A}$を含む領域と，不等式$y\leqq \sqrt{3}|x+9|$の表す領域の共通部分の面積は$\text{オ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{シ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　$\theta$は実数で，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす．方程式

$4\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}(\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})=1$

を満たすとき，$\sin \theta +\cos \theta$の値は$\text{カ}$であり，$\sin \theta$の値は$\text{キ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{シ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(5)　$3$進法で表された$3n$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の整数

${\stackrel{\stackrel{3n\text{桁}}{⏞}}{210210\cdots 210}}_{(3)}$

がある（ただし，$n$は自然数とする）．この数は，$1\leqq k\leqq n$を満たすすべての自然数$k$に対して，最小の位から数えて$3k$番目の位の数が$2\text{，}$$3k-1$番目の位の数が$1\text{，}$$3k-2$番目の位の数が$0$である．この数を$10$進法で表した数を$a_n$とおく．

(ⅰ)　$a_2=\text{ク}$である．

(ⅱ)　$a_n$を$n$の式で表すと$\text{ケ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{シ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(6)　整数$x\text{，}$$y$が$x>1\text{，}$$y>1\text{，}$$x\ne y$を満たし，等式

$6x^2+13xy$$+7x+5y^2$$+7y+2=966$

を満たすとする．

(ⅰ)　$6x^2+13xy$$+7x+5y^2$$+7y+2$を因数分解すると$\text{コ}$である．

(ⅱ)　この等式を満たす$x$と$y$の組をすべて挙げると$(x,y)=\text{サ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{シ}$にあてはまる適切な数，数の組，または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(7)　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}$$(0,-2,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,0,-2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(-2,0,-2)$がある．この$4$点を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\text{シ}$である．

【２】　以下の問の$\text{ス}\text{〜}$$\text{チ}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　与えられた図形の頂点から無作為に異なる$3$点を選んで三角形をつくる試行を考える．ただし，この試行におけるすべての根元事象は同様に確からしいとする．

(1)　正$n$角形における全事象を$U_n$とし，その中で面積が最小の三角形ができる事象を$A_n$とする．ただし，$n$は$n\geqq 6$を満たす自然数とする．

(ⅰ)　事象$U_6$において，事象$A_6$の確率は$\text{ス}$である．

(ⅱ)　事象$U_n$において，事象$A_n$の確率を$n$の式で表すと$\text{セ}$であり，この確率が${\displaystyle \frac{1}{1070}}$以下になる最小の$n$の値は$\text{ソ}$である．

(ⅲ)　事象$U_n\cap \overline{A_n}$において，面積が最小となる三角形ができる確率を$n$の式で表すと$\text{タ}$である．

(2)　$1$辺の長さが$2$である立方体における全事象を$V$とすると，事象$V$に含まれるすべての三角形の面積の平均値は$\text{チ}$である．

【３】　以下の問の$\text{ツ}\text{〜}$$\text{ニ}$にあてはまる適切な数，座標または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$xy$平面上に，$x$の関数

$f(x)=x^3+(a+4)x^2+(4a+6)x+4a+2$

のグラフ$y=f(x)$がある．$y=f(x)$が任意の実数$a$に対して通る定点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{P}$における接線が$y=f(x)$と交わる点を$\mathrm{Q}$とおく．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標は$\text{ツ}$であり，点$\mathrm{P}$における接線の方程式は$y=\text{テ}$である．

(2)　$a=5$のとき，$y=f(x)$上の点における接線は，$x=\text{ト}$において傾きが最小になる．

(3)　$x=\text{ト}$において$f(x)$が極値をとるとき，$a=\text{ナ}$であり，点$(\text{ト},f(\text{ト}))$を$\mathrm{S}$とおくと，三角形$\mathrm{SPQ}$の面積は$\text{ニ}$である．