2021　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(1)　${(a+b)}^{21}$の展開式における$a^{18}{b}^3$の係数は$\text{(ア)}$である．

【１】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(2)　$2{(\cos \theta -\sin \theta )}^2=1$を満たす$\theta$を$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めると$\text{(イ)}$である．

【１】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(3)　実数$a$が$2^a-2^{-a}=3$を満たしているとき，$2^a=\text{(ウ)}$であり，$4^a+4^{-a}=\text{(エ)}$である．

【１】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(4)　数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．$\{b_n\}$が初項$2\text{，}$公比${\displaystyle \frac{1}{3}}$の等比数列となるとき，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{(オ)}$である．また，$\{a_n\}$も等比数列になるならば，$a_1=\text{(カ)}$である．このとき$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{(キ)}$である．

【１】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(5)　自然数$n$は，$1$と$n$以外にちょうど$4$個の約数をもつとする．このような自然数$n$の中で，最小の数は$\text{(ク)}$であり，最小の奇数は$\text{(ケ)}$である．

【１】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(6)　$a\text{，}$$b$を実数，$i$を虚数単位とする．$4$次方程式

$x^4+(a+2)x^3$$-(2a+2)x^2$$+(b+1)x$$+a^2=0$

の$1$つの解が$1+i$であるとき，$a=\text{(コ)}\text{，}$$b=\text{(サ)}$である．また，他の解は$\text{(シ)}$である．

【２】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(1)　座標平面上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$1$個のさいころを投げて，$1$または$2$の目が出たときには，$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$1$だけ進み，他の目が出たときには，$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$2$だけ進むことにして，さいころを$3$回続けて投げる．点$\mathrm{P}$の座標が$(2,2)$である確率は$\text{(ス)}$であり，$\mathrm{P}$と原点との距離が$3$以上である確率は$\text{(セ)}$である．$\mathrm{P}$と原点との距離が$3$以上という条件の下で，$\mathrm{P}$が座標軸上にない条件付き確率は$\text{(ソ)}$である．

【２】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(2)　円$x^2+y^2=1$を$C$と表す．$p>1$とし，点$\mathrm{P}$$(0,p)$を通る$C$の$2$つの接線を$l_1\text{，}$$l_2$とする．$l_1\text{，}$$l_2$の方程式は$y=\text{(タ)}\text{，}$$y=\text{(チ)}$であり，$l_1\text{，}$$l_2$が直交するのは$p=\text{(ツ)}$のときである．$p=\text{(ツ)}$のとき，$l_1\text{，}$$l_2$を接線に持ち，かつ$C$に外接する$2$つの円の半径は$\text{(テ)}$および$\text{(ト)}$である．

【２】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

(3)　$a$を正の定数とし，不等式$|x^2-ax+3|\leqq 1$の解を実数の範囲で考える．

$0<a<\text{(ナ)}$のとき，この不等式の解は存在しない．

$\text{(ナ)}\leqq a\leqq \text{(ニ)}$のとき，この不等式の解はある実数$p\text{，}$$q$によって$p\leqq x\leqq q$と表される．$a>\text{(ニ)}$のとき，この不等式の解は$\text{(ヌ)}$である．

【３】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．解答が分数の場合は，分数を小数で表さなくてもよい．

　ある高校の生徒$30$人に対し，$50\mathrm{m}$走のタイムを$2$回計測した．次の図は$1$回目の計測結果を横軸に$2$回目の計測結果を縦軸にとった散布図である．

(1)　次の図(A)から(F)のうち，$1$回目の計測結果の箱ひげ図として適切なものは$\text{(ネ)}$であり，$2$回目の計測結果の箱ひげ図として適切なものは$\text{(ノ)}$である．

(2)　次の図(G)から(L)のうち，$1$回目と$2$回目の計測結果の合計の箱ひげ図として適切なものは，$\text{(ハ)}$である．

(3)　遅れてやってきた$31$人目の生徒の$50\mathrm{m}$走のタイムを$2$回計測した結果，$1$回目は$20.0$(秒)，$2$回目は$10.0$(秒)であった．各生徒の$2$回の計測結果の合計を考え，最初の$30$人の生徒の平均値を${\bar{x}}_{30}\text{，}$中央値を$m_{30}$とし，$31$人の生徒全員の平均値を${\bar{x}}_{31}\text{，}$中央値を$m_{31}$とする．${\bar{x}}_{30}=17.0$(秒)であることに注意すると，${\bar{x}}_{31}-{\bar{x}}_{30}=\text{(ヒ)}$である．一方，$m_{31}-m_{30}=\text{(フ)}$である．

【４】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．分数は分母を有理化して答えなさい．

　$\mathrm{P}$$(0,0,-1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,1,-2)\text{，}$$\mathrm{R}$$(1,0,-2)$を頂点とする三角形の面積は$\text{(へ)}$である．

　$a$を実数とし，$\overrightarrow{v}=(a,a,3)$とする．点${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{R}}^{\prime }$を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{v}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{v}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{v}$によって定め，さらに線分$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{Q}{\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{R}{\mathrm{R}}^{\prime }$が$xy$平面と交わる点をそれぞれ${\mathrm{P}}^{″}\text{，}$${\mathrm{Q}}^{″}\text{，}$${\mathrm{R}}^{″}$とする．このとき，${\mathrm{P}}^{″}$の座標は$\text{(ホ)}\text{，}$${\mathrm{Q}}^{″}$の座標は$\text{(マ)}\text{，}$${\mathrm{R}}^{″}$の座標は$\text{(ミ)}$である．$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}^{″}{\mathrm{Q}}^{″}{\mathrm{R}}^{″}$が正三角形になるのは$a=\text{(ム)}$のときである．

　$3$点${\mathrm{P}}^{″}\text{，}$${\mathrm{Q}}^{″}\text{，}$${\mathrm{R}}^{″}$が同一直線上にあるのは$a=\text{(メ)}$のときである．$a>\text{(メ)}$のとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}^{″}{\mathrm{Q}}^{″}{\mathrm{R}}^{″}$の面積を$a$で表すと$\text{(モ)}$となる．

【５】　以下の$$に最もふさわしい数または式などを求め，所定の解答欄に記入しなさい．また，(2)は求める過程も書きなさい．

　$d$を実数の定数，$f(t)$を$2$次関数として，次の関数$F(x)$を考える．

$F(x)={\displaystyle {\int }_d^x}f(t)\mathit{dt}$

(1)　$F(d)=\text{(ヤ)}\text{，}$$F^{\prime }(x)=\text{(ユ)}$である．

(2)　$F(x)$が$x=1$で極大値$5\text{，}$$x=2$で極小値$4$をとるとき，$f(t)$および$d$を求めなさい．