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【3】 を自然数とする.個のさいころを繰り返し投げる実験を行い,繰り返す回数が回に達するか,以上の目が回連続して出た場合に実験を終了する.下の表は,の場合の例である.例では,以上の目が回連続して出ず,回で実験を終了した.例では,以上の目が回連続して出たため,回で実験を終了した.
回目 | 回目 | 回目 | 回目 | 回目 | |
例 | |||||
例 |
この実験において,を「以上の目が回連続して出る」事象,非負の整数に対しを「未満の目が出た回数がちょうどである」事象とする.一般に,事象の確率をが起こったときの事象が起こる条件付き確率をと表す.
(1) のとき,である.
(2) のとき,である.
以下,とする.
(3) となるの値の範囲は,と表すことができる.このをの式で表すとである.
(4) とおく.のとき,を求めるとである.また,とおくとである.
【5】 座標平面上で,原点を通り,を方向ベクトルとする直線をとおく.ただし,とする.
(1) とする.直線の法線ベクトルで,成分が正であり,大きさがのベクトルをとおく.点に対し,と表す.として,のそれぞれをについての次式で表すとである.
点から直線に垂線を下ろし,直線との交点をとする.ただし,点が直線上にあるときは,点はとする.以下では,とする.
(2) 線分の長さは,のとき最大となる.
さらに,点から直線に垂線を下ろし,直線との交点をとする.ただし,点が直線上にあるときは,点はとする.
(3) 線分をに内分する点をとおく.がを満たしながら動くとき,点がえがく軌跡の方程式はである.
(4) の最大値はである.