2021　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　座標平面上の原点を中心とする半径$2$の円を$C_1\text{，}$中心の座標が$(7,0)\text{，}$半径が$3$の円を$C_2$とする．さらに$r$を正の実数とするとき，$C_1$と$C_2$に同時に外接する円で，その中心の座標が$(a,b)\text{，}$半径が$r$であるものを$C_3$とする．ただし，$2$つの円が外接するとは，それらが$1$点を共有し，中心が互いの外部にあるときをいう．

(1)　$r$の最小値は$\text{(1)}$であり，$a$の最大値は$\text{(2)}$となる．

(2)　$a$と$b$は関係式

$b^2=\text{(3)}\text{(4)}(a+\text{(5)}\text{(6)})(a-4)$

を満たす．

(3)　$C_3$が直線$x=-3$に接するとき，$a={\displaystyle \frac{\text{(7)}\text{(8)}}{\text{(9)}}}\text{，}$$\left|b\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{(10)}\text{(11)}\text{(12)}}}{\text{(13)}}}$である．

(4)　点$(a,b)$と原点を通る直線と，点$\mathrm{(}a,b)$と点$(7,0)$を通る直線が直交するとき，$\left|b\right|={\displaystyle \frac{\text{(14)}\text{(15)}}{\text{(16)}}}$となる．

【２】　$1$個のさいころを繰り返し投げ，出た目の数により以下の(a)，(b)に従い得点を定める．

(a)　最初から$10$回連続して$1$の目が出た場合には，$10$回目で投げ終えて，得点を$0$点とする．

(b)　$m$を$0\leqq m\leqq 9$を満たす整数とする．最初から$m$回連続して$1$の目が出て，かつ$m+1$回目に初めて$1$以外の目$n$が出た場合には，続けてさらに$n$回投げたところで投げ終えて，$1$回目から$m+n+1$回目までに出た目の数の合計を得点とする．ただし，最初から$1$以外の目が出た場合には$m=0$とする．

(1)　得点が$49$点であるとする．このとき，$n=\text{(17)}$となり，$m$の取り得る値の範囲は$\text{(18)}\leqq m\leqq \text{(19)}$であり，得点が$49$点となる確率は${\displaystyle \frac{\text{(20)}\text{(21)}}{6^{16}}}$である．また，得点が$49$点で，さいころを投げる回数が$15$回以上である確率は${\displaystyle \frac{\text{(22)}\text{(23)}}{6^{16}}}$となる．さらに，得点が$49$点である条件のもとで，さいころを投げる回数が$14$回以下である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{(24)}\text{(25)}}{\text{(26)}\text{(27)}}}$となる．

(2)　さいころを投げる回数が$15$回以上である確率は${\displaystyle \frac{\text{(28)}}{6^{10}}}$となる．ゆえに，さいころを投げる回数が$14$回以下である条件のもとで，得点が$49$点となる条件付き確率は，$k=\text{(29)}$とおいて${\displaystyle \frac{1}{6^k(6^{10}-\text{(30)})}}$となる．

(3)　得点が正の数で，かつ，さいころを投げる回数が$14$回以下である条件のもとで，得点が$49$点となる条件付き確率は，$l=\text{(31)}$とおいて${\displaystyle \frac{1}{6^l(6^{10}-\text{(32)})}}$となる．

【３】　数列$\{a_n\}$に対して

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．$\{a_n\}$は，$a_2=1\text{，}$$a_6=2$および

(＊)　$S_n={\displaystyle \frac{(n-2){(n+1)}^2}{4}}{a}_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$a_1=-\text{(33)}$である．(＊)で$n=4\text{，}$$5$とすると，$a_3+a_4$と$a_5$の関係が$2$通り定まり，$a_5=\text{(34)}$と求まる．さらに(＊)で$n=3$として，$a_3=\text{(35)}\text{(36)}\text{，}$$a_4=\text{(37)}\text{(38)}$と求まる．

(2)　$n\geqq 2$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから，(＊)とあわせて

$(n-\text{(39)}){(n+\text{(40)})}^2{a}_{n+1}$$=(n^3-\text{(41)}{n}^2+\text{(42)})a_n$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）．}$

ゆえに，$n\geqq 3$ならば$(n+\text{(43)})a_{n+1}$$=(n-\text{(44)})a_n$となる．そこで，$n\geqq 3$に対して$b_n=(n-r)(n-s)(n-t)a_n$とおくと，漸化式

$b_{n+1}=b_n$$\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．ただしここに，$r<s<t$として$r=\text{(45)}\text{，}$$s=\text{(46)}\text{，}$$t=\text{(47)}$である．したがって，$n\geqq 4$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{\text{(48)}{a}_3}{(n-r)(n-s)(n-t)}}$

となる．この式は$n=3$のときも成立する．

(3)　$n\geqq 2$に対して

$S_n={\displaystyle \frac{\text{(49)}\text{(50)}(n+\text{(51)})(n-\text{(52)})}{n(n-\text{(53)})}}$

であるから，$S_n\geqq 59$となる最小の$n$は$n=\text{(54)}\text{(55)}$である．

【４】　$k$を実数の定数とする．実数$x$は不等式

(＊)　$2{\log }_{5}x-{\log }_5(6x-5^k)<k-1$

を満たすとする．

(1)　不等式(＊)を満たす$x$の値の範囲を，$k$を用いて表せ．

(2)　$k$を自然数とする．(＊)を満たす$x$のうち奇数の個数を$a_k$とし

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．$a_k$を$k$の式で表し，さらに$S_n$を$n$の式で表せ．

(3)　(2)の$S_n$に対して，$S_n+n$が$10$桁の整数となるような自然数$n$の値を求めよ．なお，必要があれば$0.30<{\log }_{10}2<0.31$を用いよ．

【５】　空間の$2$点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2$を満たすとし，点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に直交する平面を$H$とする．平面$H$上の三角形$\mathrm{ABC}$は，正の実数$a$に対し

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=2a\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=3a\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2a^2$

を満たすとする．ただし，$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

さらに，線分$\mathrm{AB}$の平面$H$上にある垂直二等分線を$l\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を通り，線分$\mathrm{AC}$に直交する$H$上の直線を$m$とする．また，$l$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，実数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表すとき，$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　空間の点$\mathrm{Q}$は$2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{0}$を満たすとする．直線$\mathrm{PQ}$が，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の球$S$に接しているとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$の値および$a$の値を求めよ．さらに，直線$l$上の点$\mathrm{R}$を，直線$\mathrm{QR}$が$S$に接し，$\mathrm{P}$とは異なる点とする．このとき$\mathrm{▵APR}$の面積を求めよ．

【６】　$F(x)$は実数を係数とする$x$の$3$次式で，$x^3$の項の係数は$1$であり，$y=F(x)$で定まる曲線を$C$とする．$\alpha <\beta$を満たす実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，$C$上の点$\mathrm{A}$$(\alpha .F(\alpha ))$における$C$の接線を$L_{\alpha }$とするとき，$C$と$L_{\alpha }$との$\mathrm{A}$以外の共有点が$\mathrm{B}$$(\beta ,F(\beta ))$であるとする．さらに，$\mathrm{B}$における$C$の接線を$L_{\beta }$とし，$C$と$L_{\beta }$との$\mathrm{B}$以外の共有点を$(\gamma ,F(\gamma ))$とする．

(1)　接線$L_{\alpha }$の方程式を$y=l_{\alpha }(x)$とし，$G(x)=F(x)-l_{\alpha }(x)$とおく．さらに，曲線$y=G(x)$上の点$(\beta .G(\beta ))$における接線の方程式を$y=m(x)$とする．$G(x)$および$m(x)$を，それぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて因数分解された形に表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)\text{，}$$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式

${\{p(x)q(x)\}}^{\prime }=p^{\prime }(x)q(x)+p(x)q^{\prime }(x)$

を用いてもよい．

(2)　接線$L_{\beta }$の方程式は，(1)で定めた$l_{\alpha }(x)\text{，}$$m(x)$を用いて，$y=l_{\alpha }(x)+m(x)$で与えられることを示せ．さらに，$\gamma$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$および$L_{\beta }$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．さらに$\alpha \text{，}$$\beta$が$-1<\alpha <0$かつ$1<\beta <2$を満たすとき，$S$の取り得る値の範囲を求めよ．必要ならば$r<s$を満たす実数$r\text{，}$$s$に対して成り立つ公式

${\displaystyle {\int }_r^s}(x-r){(x-s)}^2\mathit{dx}={\displaystyle \frac{1}{12}}{(s-r)}^4$

を用いてもよい．