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【4】 座標平面上で座標と座標がいずれも整数である点を格子点と呼ぶ.それぞれの正の整数について,つの格子点がつくる正方形をとする.また,にある格子点をとする.
を初項がで,公差がの等差数列とし,数列の各項を以下のようにして格子点上に順番に割り当てていく.
1. 初項は格子点に割り当てる.
2. が正方形の周上にある格子点で以外の点に割り当てられているときには,の周上でその点から反時計回り(下図での矢印が示す方向)に一つ移動した格子点にを割り当てる.
3. が格子点に割り当てられているときには,を格子点に割り当てる.
全体としては,右図に示されているようにして,格子点をたどっていくことになる.
このとき,以下の問いに答えなさい.
(ⅰ) 格子点に割り当てられる数列の項をとし,格子点に割り当てられる数列の項をとする.このとき,
である.
(ⅱ) 上で定めたを用いて,を数列の初項から第項までの和とする.をを使って表すと,
である.
(ⅲ) 上で定めたが最小値をとるのは,もしくはのときであり,その値はである.