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2021 慶応義塾大学 商学部

2月14日実施

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(ⅰ) 正の実数 x y について, x y の相加平均を 5 とする.また, 4 を底とする x y の対数をそれぞれ X Y としたとき, X Y の相加平均は 1 であるとする.このとき, x<y とすると, x= (1) y= (2) である.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(ⅱ) 点 A を,放物線 C1 y=x2 上にある点で,第 1 象限( x>0 かつ y>0 の範囲)に属するものとする.そのうえで,次の条件をみたす放物線 C2 y=-3 (x-p )2+q を考える.

1. 点 A は,放物線 C2 上の点である.

2. 放物線 C2 の点 A における接線を l とするとき, l は放物線 C1 の点 A における接線と同一である.

A の座標を (a, a2) とするとき,

p= (3) (4) a q= (5) (6) a 2

と表せる.また,直線 l 放物線 C2 および直線 x=p で囲まれた部分の面積は (7) (8) (9) a 3 である.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【2】  a k n は正の整数で, a<k とする.袋の中に k 個の玉が入っている.そのうち a 個は赤玉で,残りの k-a 個は青玉である.

 「袋から 1 個の玉を取り出し,色を調べてから袋に戻すとともに,その玉と同色の玉を n 個袋に追加する」という操作を繰り返す.

(ⅰ)  1 回目に赤玉が出たとき, 2 回目に赤玉が出る確率は

(ア)

である.

(ⅱ)  2 回目に赤玉が出る確率は

(イ)

である.

(ⅲ)  2 回目に青玉が出たとき, 1 回目に赤玉が出ていた確率は

(ウ)

である.

(ⅳ) この操作を 3 回繰り返す. 1 回ごとに赤玉が出たら 1 点,青玉が出たら 2 点を得るとき,得点の合計が 4 点になる確率は

(エ)

である.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【3】 点 O を原点とする座標平面上の点 P Q R を,ベクトル a =(2,1 ) b= (1,2 ) を用い,位置ベクトル OP =f( t)a OO= f(t+ 2)a OR= g(t) b で定める.ここで, f(t ) g(t ) は,実数 t を用いて

f(t )=9 t2+1 g(t )= 18 (t -6t+9 )

で表される.

(ⅰ)  a b のなす角を θ とする.ただし, 0θπ とする.このとき,

sinθ= (10) (11)

である.

(ⅱ)  t=- (12) とき,点 P と点 Q が一致する.それ以外のとき,点 P Q R は異なる 3 点となり, t= (13) のときその 3 点が一直線上に並ぶ.

(ⅲ)  -43 t4 の範囲において,上記(ⅱ)以外のとき, ▵PQR の面積は t= (14) (15) で最大値 (16) (17) をとる.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【4】 座標平面上で x 座標と y 座標がいずれも整数である点を格子点と呼ぶ.それぞれの正の整数 n について, 4 つの格子点 An (n,n ) Bn (-n,n ) Cn (-n,- n) Dn (n,-n ) がつくる正方形を Jn とする.また, (n-1, n) にある格子点を Pn とする.

  {an } を初項 a1 -56 で,公差が 1 4 の等差数列とし,数列 {a n} の各項を以下のようにして格子点上に順番に割り当てていく.

1. 初項 a1 は格子点 P1 に割り当てる.

2.  al が正方形 Jm の周上にある格子点で Am 以外の点に割り当てられているときには, Jm の周上でその点から反時計回り(下図での矢印が示す方向)に一つ移動した格子点に al+ 1 を割り当てる.

3.  al が格子点 Am に割り当てられているときには, al+1 を格子点 P m+1 に割り当てる.

2021年慶応大商学部【4】2021133380505の図

全体としては,右図に示されているようにして,格子点をたどっていくことになる.

 このとき,以下の問いに答えなさい.

(ⅰ) 格子点 Pn に割り当てられる数列 {a k} の項を pn とし,格子点 Cn に割り当てられる数列 {a k} の項を cn とする.このとき,

p4=- (18) (19) c4=- (20) (21) (22) (23)

である.

(ⅱ) 上で定めた pn を用いて, qn を数列 {p n} の初項 p1 から第 n pn までの和とする. qn n を使って表すと,

qn= (24) (25) n3 (26) (27) (28) (29) n

である.

(ⅲ) 上で定めた qn が最小値をとるのは, n= (30) もしくは n= (31) のときであり,その値は - (32) (33) (34) である.



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