2021　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】　図のように三角形$\mathrm{ABC}$の内部に半径$1$の円が$5$つ含まれている．$4$つの円は辺$\mathrm{BC}$に接しながら横一列に互いに接しながら並び，左端の円は辺$\mathrm{AB}$に接し，右端の円は辺$\mathrm{AC}$に接している．また，もう一つの円は，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接し，$4$つの円の右側の$2$つの円に接している．このとき

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{(1)}\text{(2)}}}{\text{(3)}\text{(4)}}}\mathrm{BC}$$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\text{(5)}\text{(6)}}{\text{(7)}\text{(8)}}}\mathrm{BC}$

$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\text{(9)}\text{(10)}+\text{(11)}\text{(12)}\sqrt{\text{(13)}\text{(14)}}+\text{(15)}\text{(16)}\sqrt{\text{17)}\text{(18)}}}{\text{(19)}\text{(20)}}}$

である．ただし，$\text{(13]}\text{(14)}<\text{(17)}\text{(18)}$とする．

【２】　トランプを使って行うゲームの一つであるポーカーは，プレイヤーのもつ$5$枚のカードの組合せの強さを競うゲームである．トランプはジョーカーを除いた，スペード()・クラブ()・ダイヤモンド()・ハート()の4 つのスート（あるいはスーツとも呼ばれる）のそれぞれに$1$から$13$までの数が書かれた$52$枚のカードからなる（$1\text{，}$$11\text{，}$$12\text{，}$$13$の代わりに，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{J}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{K}$の記号を用いることが多い）．

　$5$枚のカードの組合せには，強い順に以下の種類がある．

・ストレートフラッシュ：同じスートのカードが$5$枚順番に並ぶ

・フォーカード：同じ数のカードが$4$枚揃い，それ以外のカードが$1$枚

・フルハウス：同じ数のカードが$3$枚揃い，別の数のカードが$2$枚揃う

・フラッシュ：同じスートのカードが$5$枚揃うが，順番ではない

・ストレート：数が$5$枚順番に並ぶが，スートはひとつに揃っていない

・スリーカード：同じ数のカードが$3$枚揃うが，残り$2$枚はそれぞれ別の数

・ツーペアー：同じ数のカードが$2$枚揃う組がふたつ別の数であり，残りの$1$枚もそれらとは別の数

・ワンペアー：同じ数のカードが$2$枚揃い，残りはそれぞれ別の数

・カードハイ：上記以外

なお，$\mathrm{A}$を$1$と考えて$\mathrm{A}\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$がストレートおよびストレートフラッシュとなるだけでなく，$\mathrm{A}$を$\mathrm{K}$に続く数と考えて$10\text{，}$$\mathrm{J}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{A}$もストレートおよびストレートフラッシュとして許す．しかし，$\mathrm{A}$を超えて$\mathrm{J}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$2$のように$2$まで含めるものは許さない．

　$52$枚のカードから$5$枚を抜き出す組合せの数は${}_{52}C_5=2598960$通りあるが，それがストレートフラッシュとなる組合せの数を求めてみよう．ストレートフラッシュの$5$枚のカードの最小の数は$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$\text{(21)}\text{(22)}$のどれかであるから，それぞれのスートごとに$\text{(21)}\text{(22)}$通り考えられる．よって，$4\times \text{(21)}\text{(22)}=\text{(23)}\text{(24)}$通りのストレートフラッシュの組合せがある．また，ストレートについては，数は順番に並んでいるが，スートが揃っていない組合せの数なので$\text{(25)}\text{(26)}\text{(27)}\text{(28)}\text{(29)}$通りある．

　次に，フルハウスとなる組合せの数を求めてみよう．同じ数のカードが$3$枚と$2$枚のふたつの組があり，$3$枚の組を選ぶ組合せは$\text{(30)}\text{(31)}\times {}_{4}C_3\text{，}$残りの$2$枚のカードを選ぶ組合せは$\text{(32)}\text{(33)}\times {}_{4}C_2$であるからフルハウスとなる組合せの数は$\text{(30)}\text{(31)}\times {}_{4}C_3\times \text{(32)}\text{(33)}\times {}_{4}C_2$$=\text{(34)}\text{(35)}\text{(36)}\text{(37)}$通りである．ただし$\text{(30)}\text{(31)}\geqq \text{(32)}\text{(33)}$とする．

【３】(1)　各面が白色あるいは黒色で塗られた正四面体について，いずれか$1$つの面を等確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$で選択し，選択した面を除いた$3$つの面の色を，白色であれば黒色に，黒色であれば白色に塗り直す試行を繰り返す．正四面体のすべての面が白色の状態から開始するとき

(a)　$2$つの面が白色，$2$つの面が黒色になる最小の試行回数は$\text{(38)}\text{(39)}$回であり，この試行回数で同状態が実現する確率は${\displaystyle \frac{\text{(40)}\text{(41)}}{\text{(42)}\text{(43)}}}$である．

(b)　すべての面が黒色になる最小の試行回数は$\text{(44)}\text{(45)}$回であり，この試行回数で同状態が実現する確率は${\displaystyle \frac{\text{(46)}\text{(47)}}{\text{(48)}\text{(49)}}}$である．

(2)　各面が白色あるいは黒色で塗られた立方体について，いずれか$1$つの面を等確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$で選択し，選択した面を除いた$5$つの面の色を，白色であれば黒色に，黒色であれば白色に塗り直す試行を繰り返す．立方体のすべての面が白色の状態から開始するとき

(a)　$3$つの面が白色，$3$つの面が黒色になる最小の試行回数は$\text{(50)}\text{(51)}$回であり，この試行回数で同状態が実現する確率は${\displaystyle \frac{\text{(52)}\text{(53)}}{\text{(54)}\text{(55)}}}$である．

(b)　すべての面が黒色になる最小の試行回数は$\text{(56)}\text{(57)}$回であり，この試行回数で同状態が実現する確率は${\displaystyle \frac{\text{(58)}\text{(59)}\text{(60)}}{\text{(61)}\text{(62)}\text{(63)}}}$である．

【４】　$A_n=\{1,2,\cdots ,n\}$を，$1$から$n$までの自然数の集合とする．$S$を$A_n$の部分集合（空集合および$A_n$自身も含む）としたとき，$S^{\prime }$を$S$の要素それぞれに$1$を加えてできた集合とする．また，$S^{″}$を$S^{\prime }$の要素それぞれにさらに$1$を加えてできた集合とする．たとえば，$A_3=\{1,2,3\}$の部分集合$S=\{1,3\}$の場合，$S^{\prime }=\{2,4\}$および$S^{″}=\{3,5\}$となる．

(1)　$A_4=\{1,2,3,4\}$の部分集合$S=\{1,2,3\}$は$S\cup S^{\prime }=A_4$となる．このように$A_4$の部分集合$S$で$S\cup S^{\prime }=A_4$となるものは，$\{1,2,3\}$と$\{1,\text{(64]}\}$の$2$つである．

(2)　$A_n$の部分集合$S$で$S\cup S^{\prime }=A_n$となるような$S$の個数を$a_n$とすると，(1)から分かるように$a_4=2$であり

$a_5=\text{(65)}\text{(66)}\text{，}$$a_6=\text{(67)}\text{(68)}\text{，}$$a_7=\text{(69)}\text{(70)}\text{，}$$a_8=\text{(71)}\text{(72)}\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_{16}=\text{(73)}\text{(74)}\text{(75)}$

となる．

(3)　$A_4=\{1,2,3,4\}$の部分集合$S$で$S\cup S^{″}=A_4$となるものは，$S=\{1,\text{(76)}\}$だけである．

(4)　$A_n$の部分集合$S$で$S\cup S^{″}=A_n$となるような$S$の個数を$b_n$とすると，(3)から分かるように$b_4=1$であり

$b_5=\text{(77)}\text{(78)}\text{，}$$b_6=\text{(79)}\text{(80)}\text{，}$$b_7=\text{(81)}\text{(82)}\text{，}$$b_8=\text{(83)}\text{(84)}\text{，}$$\cdots \text{，}$$b_{16}=\text{(85)}\text{(86)}\text{(87)}$

となる．

【５】　$xyz$空間において，直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$が$z\geqq z^2+y^2$$\text{（}0\leqq z\leqq 1\text{）}$を満たす立体の周辺および内部に存在する．この直方体の面$\mathrm{ABCD}\text{，}$$\mathrm{EFGH}$は$xy$平面に平行であり，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$は平面$z=1$上に，頂点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$は曲面$z=x^2+y^2$上に存在する．

(1)　直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$の面$\mathrm{ABCD}$および$\mathrm{EFGH}$が$1$辺の長さ$a$の正方形のとき，正の実数である$a$の取り得る値の範囲は$0<a<\sqrt{\text{(88)}\text{(89)}}$であり，この直方体の体積は${\displaystyle \frac{\text{(90)}\text{(91)}}{\text{(92)}\text{(93)}}}{a}^4+\text{(94)}\text{(95)}{a}^2$である．

(2)　直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$の面$\mathrm{ABFE}$および$\mathrm{DCGH}$が$1$辺の長さ$b$の正方形のとき，正の実数である$b$の取り得る値の範囲は$0<b<\text{(96)}\text{(97)}+\text{(98)}\text{(99)}\sqrt{\text{(100)}\text{(101)}}$であり，この直方体の体積は$b^2\sqrt{\text{(102)}\text{(103)}{b}^2+\text{(104)}\text{(105)}b+\text{((106)}\text{(107)}}$である．

(3)　直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$のすべての面が$1$辺の長さ$c$の正方形のとき，すなわち直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$が立方体のとき，正の実数である$c$の値は$\text{(108)}\text{(109)}+\sqrt{\text{(110)}\text{(111)}}$であり，立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$の体積は$\text{(112)}\text{(113)}\text{(114)}+\text{(115)}\text{(116)}\sqrt{\text{(117)}\text{(118)}}$である．

【６】　ある国の有識者会議が，経済活性化に資する公共サービスの供給量$x$と，医療・公衆衛生に関する公共サービスの供給量$y$の組合せの検討を行っている．供給量の組合せ$(x,y)$は，予算やマンパワー，既存の法律など，さまざまな要因により，その実現可能性に制約を受け，次の不等式を満たすものとする．

$\{\begin{array}{ll}2x+5y\leqq 405& \cdots \text{(1)}\\ x^2+75y\leqq 6075& \cdots \text{(2)}\\ x\geqq 0& \cdots \text{(3)}\\ y\geqq 0& \cdots \text{(4)}\end{array}$

供給量の組合せ$(x,y)$を$x$軸と$y$軸の$2$次元座標で表わすと，実現可能な供給量の組合せ$(x,y)$の領域は，$0\leqq x\leqq \text{(119)}\text{(120)}$の範囲で(1)と(4)を満たす$(x,y)$の部分の領域と，$\text{(119)}\text{(120)}\leqq x\leqq \text{(121)}\text{(122)}\sqrt{\text{(123)}\text{(124)}}$の範囲で(2)と(4)を満たす$(x,y)$の部分の領域の$2$つからなることが分かる．

　いま，有識者会議の目標が$xy$の最大化であるとすると，供給量の組合せを

$(x,y)=(\text{(125)}\text{(126)},\text{(127)}\text{(128)})$

とする結論を得る．

　次に，情勢の変化に伴って，上記の(1)，(2)，(3)，(4)に新たな不等式

$x+y\leqq 93\cdots \text{(5)}$

が加わったとすると，実現可能な$(x,y)$の領域は，$0\leqq x\leqq \text{(129)}\text{(130)}$の範囲で(1)と(4)を満たす$(x,y)$の部分の領域と，$\text{(129)}\text{(130)}\leqq x\leqq \text{(131)}\text{(132)}$の範囲で(5)と(4)を満たす$(x,y)$の部分の領域と，$\text{(131)}\text{(132)}\leqq x\leqq \text{(121)}\text{(122)}\sqrt{\text{(123)}\text{(124)}}$の範囲で(2)と(4)を満たす$(x,y)$の部分の領域の$3$つに分けることができる．また，政府の方針にそって，有識者会議の目標が$x^{2}y$の最大化に変更されたとすると，供給量の組合せを

$(x,y)=(\text{(133)}\text{(134)},\text{(135)}\text{(136)})$

とする結論を導くことになる．