2021　慶応義塾大学　医学部MathJax

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において

$-5\overrightarrow{\mathrm{OA}}+7\overrightarrow{\mathrm{OB}}+8\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

が成り立っているとする．また直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき線分$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{OP}$の長さを求めると$\mathrm{BC}=\text{(あ)}\text{，}$$\mathrm{OP}=\text{(い)}$である．さらに三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{(う)}$である．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(2)　$0<\alpha <1\text{，}$$m>0$とする．曲線$y=x^{\alpha }-mx$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の回りに$1$回転させてできる回転体の体積を$V$とする．$m$を固定して$\alpha \to +0$とするときの$V$の極限値を$m$の式で表すと，$\underset{\alpha \to +0}{\lim }V=\text{(え)}$となる．また，$\alpha$を固定して$m\to \infty$とするとき$m^{3}V$が$0$でない数に収束するならば，$\alpha =\text{(お)}$である．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(3)　整数$k$に対して，$x$の$2$次方程式$x^2+kx+k+35=0$の解を${\alpha }_k\text{，}$${\beta }_k$とおく．ただし，方程式が重解をもつときは${\alpha }_k={\beta }_k$である．また

$U=\{k|k\text{は整数，かつ}\left|k\right|\leqq 100\}$

を全体集合とし，その部分集合

$A=\{k|k\in U\text{かつ}{\alpha }_k\text{，}{\beta }_k\text{はともに実数で}{\alpha }_k\ne {\beta }_k\}\text{，}$

$B=\left\{k\right|k\in U\text{かつ}{\alpha }_k\text{，}{\beta }_k\text{の実部はともに}2\text{より大きい}\}$，

$C=\{k|k\in U\text{かつ}{\alpha }_k\text{，}{\beta }_k\text{の実部と虚部はすべて整数}\}$，

を考える．このとき$n(A)=\text{(か)}\text{，}$$n(A\cap B)=\text{(き)}\text{，}$$n(\bar{A}\cap B)=\text{(く)}\text{，}$$n(A\cap C)=\text{(け)}\text{，}$$n(\bar{A}\cap C)=\text{(こ)}$である．ただし有限集合$X$に対してその要素の個数を$n(X)$で表す．また，$\bar{A}$は$A$の補集合である．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし(あ)，(い)，(う)には$n$の整式を，(え)には$d_1\text{，}$$d_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$d_n$の式を入れること．また，設問(2)に答えなさい．

　$n$人のクラス（ただし$n>1$）で英語と理科のテストを実施する．ただしどちらの科目にも同順位の者はいないとする．出席番号$i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の生徒について，その英語の順位$x$と理科の順位$y$の組を$(x_i,y_i)$で表す．

(1)　変量$x$の平均値$\bar{x}$と分散$s_x^2$をそれぞれ求めると$\bar{x}=\text{(あ)}\text{，}$$s_x^2=\text{(い)}$である．

(2)　変量$x\text{，}$$y$の共分散を$s_{xy}$とする．クラスの人数$n$が奇数の$2$倍であるとき，$s_{xy}\ne 0$となることを示しなさい．

(3)　$i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対して$d_i=x_i-y_i$とおく．変量$x\text{，}$$y$の相関係数を$r$とするとき，$r$は$n$と$d_1\text{，}$$d_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$d_n$を用いて

$r=1-{\displaystyle \frac{6}{\text{(う)}}}\text{(え)}$

と表される．

(4)　$x_i$と$y_i$の間に$y_i=\text{(お)}$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の関係があるとき$r$は最大値$\text{(か)}$をとり，$y_i=\text{(き)}$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の関係があるとき$r$は最小値$\text{(く)}$をとる．

【３】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　水平な平面上の異なる$2$点$\mathrm{A}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(x,y)$にそれぞれ高さ$h>0\text{，}$$g>0$の塔が平面に垂直に立っている．この平面上にあって$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{Q}$とは異なる点$\mathrm{P}$から$2$つの塔の先端を見上げる角度が等しくなる状況を考える．ただし，以下の設問を通して$h\ne g$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標が$(T,1)$（ただし$T>0$）のとき，$2$つの塔を見上げる角度が等しくなるような点$\mathrm{P}$は，中心の座標が$(\text{(あ)},\text{(い)})\text{，}$半径が$\text{(う)}$の円周上にある．

(2)　$2$つの塔を見上げる角度が等しくなるような点$\mathrm{P}$のうち，$y$軸上にあるものがただ$1$つであるとする．このとき$h$と$g$の間には不等式$\text{(え)}$が成り立ち，点$\mathrm{Q}$$(x,y)$は$2$直線$y=\text{(お)}\text{，}$$y=\text{(か)}$のいずれかの上にある．

(3)　$2$つの塔を見上げる角度が等しくなるような点$\mathrm{P}$のうち，$x$軸上にあるものがただ$1$つであるとする．このとき点$\mathrm{Q}$$(x,y)$は方程式

$\text{(き)}{x}^2+\text{(く)}x+\text{(け)}{y}^2+\text{(こ)}y=1$

で表される$2$次曲線$C$の上にある．$C$が楕円であるのは$h$と$g$の間に不等式$\text{(さ)}$が成り立つときであり，そのとき$C$の$2$つの焦点の座標は$(\text{(し)},\text{(す)})\text{，}$$(\text{(せ)},\text{(そ)}]$である．$\text{(さ)}$が成り立たないとき$C$は双曲線となり，その$2$つの焦点の座標は$(\text{(た)},\text{(ち)})\text{，}$$(\text{(つ)},\text{(て)})$である．さらに${\displaystyle \frac{h}{g}}=\text{(と)}$のとき$C$は直角双曲線となる．

【４】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　曲線$y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$$\text{（}x>0）$を$C$で表す．点$\mathrm{Q}$$(X,Y)$を中心とする半径$r$の円が曲線$C$と，点$\mathrm{P}$$(i,{\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}})$（ただし$t>0$）において共通の接線をもち，さらに$X<t$であるとする．このとき$X$および$Y$を$t$の式で表すと

$X=\text{(あ)}\text{，}$$Y=\text{(い)}$

となる．$t$の関数$X(t)\text{，}$$Y(t)$を$X(t)=\text{(あ)}\text{，}$$Y(t)=\text{(い)}$により定義する．すべての$t>0$に対して$X(t)>0$となるための条件は，$r$が不等式$\text{(う)}$を満たすことである．$\text{(う)}$が成り立たないとき，関数$Y(t)$は$t=\text{(え)}$において最小値$\text{(お)}$をとる．また$\text{(う)}$が成り立つとき，$Y$を$X$の関数と考えて，${\left({\displaystyle \frac{\mathit{dY}}{\mathit{dX}}}\right)}^2+1$を$Y$の式で表すと${\left({\displaystyle \frac{\mathit{dY}}{\mathit{dX}}}\right)}^2+1=\text{(か)}$となる．