2021　上智大学　TEAP文系2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$s$を正の実数として$x\text{，}$$y$の連立方程式

$\{\begin{array}{l}{4}^x+9^y=5\\ 2^x\cdot 3^y=s\end{array}$

を考える．以下では${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477$として計算せよ．

(a)　この連立方程式の解が$2$組あるための必要十分条件は

$0<s<{\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$

である．

(b)　$s=2$のとき$x<y$となる解を$(x_0,y_0)$とする．$y_0$を小数第$3$位で四捨五入した数の整数部分は$\text{ウ}\text{，}$小数第$1$位は$\text{エ}\text{，}$小数第$2$位は$\text{オ}$である．

【１】

(2)　正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{G}$を含む平面が辺$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

である．

【２】　$xy$平面において，放物線$C\text{：}y=x^2$と，互いに直交する$C$の$2$つの接線$l\text{，}$$m$を考える．

(1)　$l$が点$(2,4)$を通るとき，$m$の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}x+{\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}$

であり，$l$と$m$の交点の座標は

$({\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}},{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}})$

である．

(2)　$l$と$m$の交点が$y$軸上にあるとき，$2$直線$l\text{，}$$m$と$C$の囲む図形の面積は

${\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$

である．

【３】　硬貨を$2$枚投げる試行を$3$回くり返して，$1$回目，$2$回目，$3$回目に出た表の枚数を順に$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とする．$3$次関数

$f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

を考える．

(1)　関数$y=f(x)$が極値をとらない確率は${\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}$である．

(2)　関数$y=f(x)$が極大値をとるとき，その極大値のとり得る値のうち最小のものは$\text{ニ}$で，最大のものは${\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}$である．

(3)　関数$y=f(x)$が極大値$\text{ニ}$をとる確率は${\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}$である．

(4)　関数$y=f(x)$が極大値${\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}$をとる確率は${\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}}$である．

【４】

(1)　関数$f(x)$に対する以下の条件(P)を考える．

(P)：$f(n)>3$を満たす$5$以上の自然数$n$が存在する．

条件(P)の否定として正しいものを，以下の選択肢からすべて選べ．正しい選択肢がない場合は，解答欄のzをマークせよ．

(a)　$f(n)\leqq 3$を満たす$5$以上の自然数$n$が存在する．

(b)　$f(n)>3$を満たす$5$未満の自然数$n$が存在する．

(c)　$f(n)\leqq 3$を満たす$5$未満の自然数$n$が存在する．

(d)　$n$が$5$以上の自然数ならば$f(n)\leqq 3$が成り立つ．

(e)　$n$が$5$未満の自然数ならば$f(n)\leqq 3$が成り立つ．

(f)　$n$が$5$未満の自然数ならば$f(n)>3$が成り立つ．

(g)　$f(n)>3$が$5$以上のすべての自然数$n$に対して成り立つ．

(h)　$f(n)\leqq 3$が$5$以上のすべての自然数$n$に対して成り立つ．

(i)　$f(n)\leqq 3$が$5$未満のすべての自然数$n$に対して成り立つ．

【４】

(2)　野菜$\mathrm{A}$には$1$個あたり栄養素$x_1$が$8\mathrm{g}\text{，}$栄養素$x_2$が$4\mathrm{g}\text{，}$栄養素$x_3$が$2\mathrm{g}$含まれ，野菜$\mathrm{B}$には$1$個あたり栄養素$x_1$が$4\mathrm{g}\text{，}$栄養素$x_2$が$6\mathrm{g}\text{，}$栄養素$x_3$が$6\mathrm{g}$含まれている．これら$2$種類の野菜をそれぞれ何個かずつ選んでミックスし野菜ジュースを作る．選んだ野菜は丸ごと全て用い，栄養素$x_1$を$42\mathrm{g}$以上，栄養素$x_2$を$48\mathrm{g}$以上，栄養素$x_3$を$30\mathrm{g}$以上含まれるようにしたい．野菜$\mathrm{A}$の個数と野菜$\mathrm{B}$の個数の和をなるべく小さくしてジュースを作るとき，野菜$\mathrm{A}$の個数$a$と野菜$\mathrm{B}$の個数$b$の組$(a,b)$は

$(a,b)=(\text{ヘ},\text{ホ})\text{，}$$(\text{マ},\text{ミ})$

である．ただし$\text{ハ}<\text{マ}$とする．